Вычисляет два сингулярных числа невырожденной вещественной матрицы и её число обусловленности в норме 2.
∑быстрый расчёт онлайн
Введите данные
Данные не отправляются на сервер
Результат
Наибольшее сингулярное число3
Наименьшее сингулярное число2
Число обусловленности κ₂1,5
Формула
Как считается результат
Квадраты сингулярных чисел — собственные числа AAᵀ. Большое σ вычисляется из следа и неотрицательной дискриминанты, малое — через σmin=|det A|/σmax, чтобы уменьшить потерю точности при вычитании. κ₂=σmax/σmin.
Пример с тестовыми данными
Элемент a₁₁: 3; Элемент a₁₂: 0; Элемент a₂₁: 0; Элемент a₂₂: 2
Вычисляет два сингулярных числа невырожденной вещественной матрицы и её число обусловленности в норме 2.
Квадраты сингулярных чисел — собственные числа AAᵀ. Большое σ вычисляется из следа и неотрицательной дискриминанты, малое — через σmin=|det A|/σmax, чтобы уменьшить потерю точности при вычитании. κ₂=σmax/σmin.
01
Подготовьте данные
Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: элемент a₁₁; элемент a₁₂; элемент a₂₁; элемент a₂₂.
02
Проверьте единицы и условия
Вещественная невырожденная матрица 2×2. Полное SVD с матрицами U,V не строится; вырожденный случай имеет бесконечную обусловленность и отклоняется явно. При почти нулевом определителе и огромном динамическом диапазоне нужна более устойчивая масштабированная реализация.
03
Прочитайте результат
κ₂≥1 показывает чувствительность линейной задачи к некоторым возмущениям, не число гарантированно потерянных цифр в любом расчёте. Умножение всей матрицы на ненулевой скаляр меняет оба σ, но не κ₂.
Подробное объяснение
Как читать результат
Расшифровка показателей, пример вычисления и ограничения метода — без лишних терминов.
01
Что означают результаты
κ₂≥1 показывает чувствительность линейной задачи к некоторым возмущениям, не число гарантированно потерянных цифр в любом расчёте. Умножение всей матрицы на ненулевой скаляр меняет оба σ, но не κ₂.
02
Когда модель применима
Вещественная невырожденная матрица 2×2. Полное SVD с матрицами U,V не строится; вырожденный случай имеет бесконечную обусловленность и отклоняется явно. При почти нулевом определителе и огромном динамическом диапазоне нужна более устойчивая масштабированная реализация.
Разбор по шагам
Пример расчёта
Пример 1
Исходные данные
Элемент a₁₁: 3; Элемент a₁₂: 0; Элемент a₂₁: 0; Элемент a₂₂: 2
Вычисление
Квадраты сингулярных чисел — собственные числа AAᵀ. Большое σ вычисляется из следа и неотрицательной дискриминанты, малое — через σmin=|det A|/σmax, чтобы уменьшить потерю точности при вычитании. κ₂=σmax/σmin. Наибольшее сингулярное число: после вычисления по описанной формуле получаем 3. Наименьшее сингулярное число: после вычисления по описанной формуле получаем 2. Число обусловленности κ₂: после вычисления по описанной формуле получаем 1,5.
κ₂≥1 показывает чувствительность линейной задачи к некоторым возмущениям, не число гарантированно потерянных цифр в любом расчёте. Умножение всей матрицы на ненулевой скаляр меняет оба σ, но не κ₂.
Пример 2
Исходные данные
Элемент a₁₁: 3; Элемент a₁₂: 1; Элемент a₂₁: 0; Элемент a₂₂: 2
Вычисление
Наибольшее сингулярное число: после вычисления по описанной формуле получаем 3,256616538. Наименьшее сингулярное число: после вычисления по описанной формуле получаем 1,842402976. Число обусловленности κ₂: после вычисления по описанной формуле получаем 1,767591879.
Этот вариант использует другие исходные данные: Элемент a₁₂ — 1. κ₂≥1 показывает чувствительность линейной задачи к некоторым возмущениям, не число гарантированно потерянных цифр в любом расчёте. Умножение всей матрицы на ненулевой скаляр меняет оба σ, но не κ₂.
Формула и обозначения
Квадраты сингулярных чисел — собственные числа AAᵀ. Большое σ вычисляется из следа и неотрицательной дискриминанты, малое — через σmin=|det A|/σmax, чтобы уменьшить потерю точности при вычитании. κ₂=σmax/σmin.
first — элемент a₁₁.
second — элемент a₁₂.
third — элемент a₂₁.
fourth — элемент a₂₂.
Практическое применение
Вычисляет два сингулярных числа невырожденной вещественной матрицы и её число обусловленности в норме 2. Квадраты сингулярных чисел — собственные числа AAᵀ. Большое σ вычисляется из следа и неотрицательной дискриминанты, малое — через σmin=|det A|/σmax, чтобы уменьшить потерю точности при вычитании. κ₂=σmax/σmin.
κ₂≥1 показывает чувствительность линейной задачи к некоторым возмущениям, не число гарантированно потерянных цифр в любом расчёте. Умножение всей матрицы на ненулевой скаляр меняет оба σ, но не κ₂.
Частые ошибки
Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: элемент a₁₁; элемент a₁₂; элемент a₂₁; элемент a₂₂.
Вещественная невырожденная матрица 2×2. Полное SVD с матрицами U,V не строится; вырожденный случай имеет бесконечную обусловленность и отклоняется явно. При почти нулевом определителе и огромном динамическом диапазоне нужна более устойчивая масштабированная реализация.
Источники и допущения
Основание расчёта
Метод, правило или ставка сверены с указанным источником. Последняя проверка этой реализации: 2026-09-30.
Вещественная невырожденная матрица 2×2. Полное SVD с матрицами U,V не строится; вырожденный случай имеет бесконечную обусловленность и отклоняется явно. При почти нулевом определителе и огромном динамическом диапазоне нужна более устойчивая масштабированная реализация.
Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: элемент a₁₁; элемент a₁₂; элемент a₂₁; элемент a₂₂.
κ₂≥1 показывает чувствительность линейной задачи к некоторым возмущениям, не число гарантированно потерянных цифр в любом расчёте. Умножение всей матрицы на ненулевой скаляр меняет оба σ, но не κ₂.
Как проверить расчёт на конкретном примере?＋
Элемент a₁₁: 3; Элемент a₁₂: 0; Элемент a₂₁: 0; Элемент a₂₂: 2. Наибольшее сингулярное число: 3; Наименьшее сингулярное число: 2; Число обусловленности κ₂: 1,5. Квадраты сингулярных чисел — собственные числа AAᵀ. Большое σ вычисляется из следа и неотрицательной дискриминанты, малое — через σmin=|det A|/σmax, чтобы уменьшить потерю точности при вычитании. κ₂=σmax/σmin.
Какие ограничения есть у метода?＋
Вещественная невырожденная матрица 2×2. Полное SVD с матрицами U,V не строится; вырожденный случай имеет бесконечную обусловленность и отклоняется явно. При почти нулевом определителе и огромном динамическом диапазоне нужна более устойчивая масштабированная реализация.
Можно ли изменить исходные данные и сравнить варианты?＋
Да. κ₂≥1 показывает чувствительность линейной задачи к некоторым возмущениям, не число гарантированно потерянных цифр в любом расчёте. Умножение всей матрицы на ненулевой скаляр меняет оба σ, но не κ₂. Сравнивайте варианты в одинаковых единицах и при неизменных допущениях: Вещественная невырожденная матрица 2×2. Полное SVD с матрицами U,V не строится; вырожденный случай имеет бесконечную обусловленность и отклоняется явно. При почти нулевом определителе и огромном динамическом диапазоне нужна более устойчивая масштабированная реализация.