Математика

МНК: три уравнения и две неизвестные

Находит решение переопределённой линейной системы с минимальной суммой квадратов трёх невязок.

∑быстрый расчёт
онлайн

Введите данные

Коэффициент x в первом уравнении

Коэффициент y в первом уравнении

Правая часть первого уравнения

Коэффициент x во втором уравнении

Коэффициент y во втором уравнении

Правая часть второго уравнения

Коэффициент x в третьем уравнении

Коэффициент y в третьем уравнении

Правая часть третьего уравнения

Данные не отправляются на сервер

Результат

Решение x1,333333

Решение y2,3333

Сумма квадратов невязок0,3333

Формула

Как считается результат

МНК минимизирует ||Az−r||². Нормальные уравнения (AᵀA)z=Aᵀr решаются для двух неизвестных; полный ранг столбцов проверяется через сумму квадратов трёх миноров 2×2. Это гарантирует единственность минимума в точной арифметике.

Пример с тестовыми данными

Решение x: 1,333333333; Решение y: 2,333333333; Сумма квадратов невязок: 0,3333333333

О расчёте

Как пользоваться
калькулятором

Находит решение переопределённой линейной системы с минимальной суммой квадратов трёх невязок.

01
Подготовьте данные
Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: коэффициент x в первом уравнении; коэффициент y в первом уравнении; правая часть первого уравнения; коэффициент x во втором уравнении; коэффициент y во втором уравнении; правая часть второго уравнения; коэффициент x в третьем уравнении; коэффициент y в третьем уравнении; правая часть третьего уравнения.
02
Проверьте единицы и условия
Три вещественных уравнения, две неизвестные и равные веса ошибок. Нормальные уравнения ухудшают обусловленность; почти зависимые столбцы и крайне разные масштабы требуют QR/SVD в специализированном пакете. Ограничения на знак решения, робастные потери и статистическая значимость не поддерживаются.
03
Прочитайте результат
Несовместимая система обычно имеет ненулевую невязку: это ожидаемый результат, а не ошибка. Если все три уравнения совместимы, сумма квадратов обращается в ноль и ответ становится точным решением.

Подробное объяснение

Как читать результат

Расшифровка показателей, пример вычисления и ограничения метода — без лишних терминов.

Что означают результаты

Несовместимая система обычно имеет ненулевую невязку: это ожидаемый результат, а не ошибка. Если все три уравнения совместимы, сумма квадратов обращается в ноль и ответ становится точным решением.

Когда модель применима

Три вещественных уравнения, две неизвестные и равные веса ошибок. Нормальные уравнения ухудшают обусловленность; почти зависимые столбцы и крайне разные масштабы требуют QR/SVD в специализированном пакете. Ограничения на знак решения, робастные потери и статистическая значимость не поддерживаются.

Разбор по шагам

Пример расчёта

Пример 1

Исходные данные: Коэффициент x в первом уравнении: 1; Коэффициент y в первом уравнении: 0; Правая часть первого уравнения: 1; Коэффициент x во втором уравнении: 0; Коэффициент y во втором уравнении: 1; Правая часть второго уравнения: 2; Коэффициент x в третьем уравнении: 1; Коэффициент y в третьем уравнении: 1; Правая часть третьего уравнения: 4
Вычисление: МНК минимизирует ||Az−r||². Нормальные уравнения (AᵀA)z=Aᵀr решаются для двух неизвестных; полный ранг столбцов проверяется через сумму квадратов трёх миноров 2×2. Это гарантирует единственность минимума в точной арифметике. Решение x: после вычисления по описанной формуле получаем 1,333333333. Решение y: после вычисления по описанной формуле получаем 2,333333333. Сумма квадратов невязок: после вычисления по описанной формуле получаем 0,3333333333.
Результат: Решение x: 1,333333333; Решение y: 2,333333333; Сумма квадратов невязок: 0,3333333333

Пример 2

Исходные данные: Коэффициент x в первом уравнении: 1; Коэффициент y в первом уравнении: 0; Правая часть первого уравнения: 1; Коэффициент x во втором уравнении: 0; Коэффициент y во втором уравнении: 1; Правая часть второго уравнения: 2; Коэффициент x в третьем уравнении: 1; Коэффициент y в третьем уравнении: 1; Правая часть третьего уравнения: 3
Вычисление: Решение x: после вычисления по описанной формуле получаем 1. Решение y: после вычисления по описанной формуле получаем 2. Сумма квадратов невязок: после вычисления по описанной формуле получаем 0.
Результат: Решение x: 1; Решение y: 2; Сумма квадратов невязок: 0

Этот вариант использует другие исходные данные: Правая часть третьего уравнения — 3. Несовместимая система обычно имеет ненулевую невязку: это ожидаемый результат, а не ошибка. Если все три уравнения совместимы, сумма квадратов обращается в ноль и ответ становится точным решением.

Формула и обозначения

aone — коэффициент x в первом уравнении.

bone — коэффициент y в первом уравнении.

rone — правая часть первого уравнения.

atwo — коэффициент x во втором уравнении.

btwo — коэффициент y во втором уравнении.

rtwo — правая часть второго уравнения.

athree — коэффициент x в третьем уравнении.

bthree — коэффициент y в третьем уравнении.

rthree — правая часть третьего уравнения.

Практическое применение

Находит решение переопределённой линейной системы с минимальной суммой квадратов трёх невязок. МНК минимизирует ||Az−r||². Нормальные уравнения (AᵀA)z=Aᵀr решаются для двух неизвестных; полный ранг столбцов проверяется через сумму квадратов трёх миноров 2×2. Это гарантирует единственность минимума в точной арифметике.

Частые ошибки

Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: коэффициент x в первом уравнении; коэффициент y в первом уравнении; правая часть первого уравнения; коэффициент x во втором уравнении; коэффициент y во втором уравнении; правая часть второго уравнения; коэффициент x в третьем уравнении; коэффициент y в третьем уравнении; правая часть третьего уравнения.

Источники и допущения

Основание расчёта

Метод, правило или ставка сверены с указанным источником. Последняя проверка этой реализации: 2026-09-30.

Три вещественных уравнения, две неизвестные и равные веса ошибок. Нормальные уравнения ухудшают обусловленность; почти зависимые столбцы и крайне разные масштабы требуют QR/SVD в специализированном пакете. Ограничения на знак решения, робастные потери и статистическая значимость не поддерживаются.
Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: коэффициент x в первом уравнении; коэффициент y в первом уравнении; правая часть первого уравнения; коэффициент x во втором уравнении; коэффициент y во втором уравнении; правая часть второго уравнения; коэффициент x в третьем уравнении; коэффициент y в третьем уравнении; правая часть третьего уравнения.

SciPy: минимизация нормы невязки в линейном МНК ↗

Коротко о главном

Вопросы
и ответы

Что показывает «решение x»?＋

Как проверить расчёт на конкретном примере?＋

Коэффициент x в первом уравнении: 1; Коэффициент y в первом уравнении: 0; Правая часть первого уравнения: 1; Коэффициент x во втором уравнении: 0; Коэффициент y во втором уравнении: 1; Правая часть второго уравнения: 2; Коэффициент x в третьем уравнении: 1; Коэффициент y в третьем уравнении: 1; Правая часть третьего уравнения: 4. Решение x: 1,333333333; Решение y: 2,333333333; Сумма квадратов невязок: 0,3333333333. МНК минимизирует ||Az−r||². Нормальные уравнения (AᵀA)z=Aᵀr решаются для двух неизвестных; полный ранг столбцов проверяется через сумму квадратов трёх миноров 2×2. Это гарантирует единственность минимума в точной арифметике.

Какие ограничения есть у метода?＋

Можно ли изменить исходные данные и сравнить варианты?＋

Да. Несовместимая система обычно имеет ненулевую невязку: это ожидаемый результат, а не ошибка. Если все три уравнения совместимы, сумма квадратов обращается в ноль и ответ становится точным решением. Сравнивайте варианты в одинаковых единицах и при неизменных допущениях: Три вещественных уравнения, две неизвестные и равные веса ошибок. Нормальные уравнения ухудшают обусловленность; почти зависимые столбцы и крайне разные масштабы требуют QR/SVD в специализированном пакете. Ограничения на знак решения, робастные потери и статистическая значимость не поддерживаются.