Математика

Грам — Шмидт для двух плоских векторов

Строит ортонормированный базис из двух линейно независимых вещественных двумерных векторов.

∑быстрый расчёт
онлайн

Введите данные

Первая координата первого вектора

Вторая координата первого вектора

Первая координата второго вектора

Вторая координата второго вектора

Данные не отправляются на сервер

Результат

Первый единичный вектор: x1

Первый единичный вектор: y0

Второй единичный вектор: x0

Второй единичный вектор: y1

Формула

Как считается результат

Первый вектор нормируется: q1=a/||a||. Из второго вычитается его проекция на a: u=v−(a·v)/(a·a)a; затем q2=u/||u||. В точной арифметике q1·q2=0, а обе длины равны единице.

Пример с тестовыми данными

Первая координата первого вектора: 1; Вторая координата первого вектора: 0; Первая координата второго вектора: 1; Вторая координата второго вектора: 1

Первый единичный вектор: x: 1; Первый единичный вектор: y: 0; Второй единичный вектор: x: 0; Второй единичный вектор: y: 1

О расчёте

Как пользоваться
калькулятором

Строит ортонормированный базис из двух линейно независимых вещественных двумерных векторов.

01
Подготовьте данные
Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: первая координата первого вектора; вторая координата первого вектора; первая координата второго вектора; вторая координата второго вектора.
02
Проверьте единицы и условия
Первый вектор ненулевой, второй не параллелен первому. Почти зависимые векторы теряют точность при вычитании проекции; метод не заменяет устойчивое QR с повторной ортогонализацией для больших систем. Все координаты относятся к одной ортонормированной системе.
03
Прочитайте результат
Порядок исходных векторов определяет полученный базис. Знаки единичных векторов сохраняют направление выбранных остатков; разные ортонормированные базисы одной плоскости могут быть равно правильными.

Подробное объяснение

Как читать результат

Расшифровка показателей, пример вычисления и ограничения метода — без лишних терминов.

Что означают результаты

Порядок исходных векторов определяет полученный базис. Знаки единичных векторов сохраняют направление выбранных остатков; разные ортонормированные базисы одной плоскости могут быть равно правильными.

Когда модель применима

Первый вектор ненулевой, второй не параллелен первому. Почти зависимые векторы теряют точность при вычитании проекции; метод не заменяет устойчивое QR с повторной ортогонализацией для больших систем. Все координаты относятся к одной ортонормированной системе.

Разбор по шагам

Пример расчёта

Пример 1

Исходные данные: Первая координата первого вектора: 1; Вторая координата первого вектора: 0; Первая координата второго вектора: 1; Вторая координата второго вектора: 1
Вычисление: Первый вектор нормируется: q1=a/||a||. Из второго вычитается его проекция на a: u=v−(a·v)/(a·a)a; затем q2=u/||u||. В точной арифметике q1·q2=0, а обе длины равны единице. Первый единичный вектор: x: (1) ÷ sqrt((1)^2+(0)^2) = 1. Первый единичный вектор: y: (0) ÷ sqrt((1)^2+(0)^2) = 0. Второй единичный вектор: x: ((1)-((1) × (1)+(1) × (0)) ÷ ((1)^2+(0)^2) × (1)) ÷ sqrt(((1)-((1) × (1)+(1) × (0)) ÷ ((1)^2+(0)^2) × (1))^2+((1)-((1) × (1)+(1) × (0)) ÷ ((1)^2+(0)^2) × (0))^2) = 0. Второй единичный вектор: y: ((1)-((1) × (1)+(1) × (0)) ÷ ((1)^2+(0)^2) × (0)) ÷ sqrt(((1)-((1) × (1)+(1) × (0)) ÷ ((1)^2+(0)^2) × (1))^2+((1)-((1) × (1)+(1) × (0)) ÷ ((1)^2+(0)^2) × (0))^2) = 1.
Результат: Первый единичный вектор: x: 1; Первый единичный вектор: y: 0; Второй единичный вектор: x: 0; Второй единичный вектор: y: 1

Пример 2

Исходные данные: Первая координата первого вектора: 1; Вторая координата первого вектора: 1; Первая координата второго вектора: 0; Вторая координата второго вектора: 1
Вычисление: Первый единичный вектор: x: (1) ÷ sqrt((1)^2+(1)^2) = 0,7071067812. Первый единичный вектор: y: (1) ÷ sqrt((1)^2+(1)^2) = 0,7071067812. Второй единичный вектор: x: ((0)-((0) × (1)+(1) × (1)) ÷ ((1)^2+(1)^2) × (1)) ÷ sqrt(((0)-((0) × (1)+(1) × (1)) ÷ ((1)^2+(1)^2) × (1))^2+((1)-((0) × (1)+(1) × (1)) ÷ ((1)^2+(1)^2) × (1))^2) = -0,7071067812. Второй единичный вектор: y: ((1)-((0) × (1)+(1) × (1)) ÷ ((1)^2+(1)^2) × (1)) ÷ sqrt(((0)-((0) × (1)+(1) × (1)) ÷ ((1)^2+(1)^2) × (1))^2+((1)-((0) × (1)+(1) × (1)) ÷ ((1)^2+(1)^2) × (1))^2) = 0,7071067812.
Результат: Первый единичный вектор: x: 0,7071067812; Первый единичный вектор: y: 0,7071067812; Второй единичный вектор: x: -0,7071067812; Второй единичный вектор: y: 0,7071067812

Этот вариант использует другие исходные данные: Вторая координата первого вектора — 1; Первая координата второго вектора — 0; Вторая координата второго вектора — 1. Порядок исходных векторов определяет полученный базис. Знаки единичных векторов сохраняют направление выбранных остатков; разные ортонормированные базисы одной плоскости могут быть равно правильными.

Формула и обозначения

ax — первая координата первого вектора.

ay — вторая координата первого вектора.

vx — первая координата второго вектора.

vy — вторая координата второго вектора.

Практическое применение

Строит ортонормированный базис из двух линейно независимых вещественных двумерных векторов. Первый вектор нормируется: q1=a/||a||. Из второго вычитается его проекция на a: u=v−(a·v)/(a·a)a; затем q2=u/||u||. В точной арифметике q1·q2=0, а обе длины равны единице.

Частые ошибки

Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: первая координата первого вектора; вторая координата первого вектора; первая координата второго вектора; вторая координата второго вектора.

Источники и допущения

Основание расчёта

Метод, правило или ставка сверены с указанным источником. Последняя проверка этой реализации: 2026-09-30.

Первый вектор ненулевой, второй не параллелен первому. Почти зависимые векторы теряют точность при вычитании проекции; метод не заменяет устойчивое QR с повторной ортогонализацией для больших систем. Все координаты относятся к одной ортонормированной системе.
Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: первая координата первого вектора; вторая координата первого вектора; первая координата второго вектора; вторая координата второго вектора.

MIT Linear Algebra: ортогонализация Грама — Шмидта ↗

Коротко о главном

Вопросы
и ответы

Что показывает «первый единичный вектор: x»?＋

Как проверить расчёт на конкретном примере?＋

Первая координата первого вектора: 1; Вторая координата первого вектора: 0; Первая координата второго вектора: 1; Вторая координата второго вектора: 1. Первый единичный вектор: x: 1; Первый единичный вектор: y: 0; Второй единичный вектор: x: 0; Второй единичный вектор: y: 1. Первый вектор нормируется: q1=a/||a||. Из второго вычитается его проекция на a: u=v−(a·v)/(a·a)a; затем q2=u/||u||. В точной арифметике q1·q2=0, а обе длины равны единице.

Какие ограничения есть у метода?＋

Можно ли изменить исходные данные и сравнить варианты?＋

Да. Порядок исходных векторов определяет полученный базис. Знаки единичных векторов сохраняют направление выбранных остатков; разные ортонормированные базисы одной плоскости могут быть равно правильными. Сравнивайте варианты в одинаковых единицах и при неизменных допущениях: Первый вектор ненулевой, второй не параллелен первому. Почти зависимые векторы теряют точность при вычитании проекции; метод не заменяет устойчивое QR с повторной ортогонализацией для больших систем. Все координаты относятся к одной ортонормированной системе.