Оценивает собственное число по заданному направлению и измеряет невязку приближённого собственного вектора.
∑быстрый расчёт онлайн
Введите данные
Данные не отправляются на сервер
Результат
Отношение Рэлея4
Норма невязки на единицу длины0
Формула
Как считается результат
Для симметричной A отношение Рэлея ρ(v)=vᵀAv/(vᵀv). Проверочный остаток r=Av−ρv делится по норме на ||v||, чтобы результат не зависел от масштаба пробного вектора; у точного собственного направления он нулевой.
Пример с тестовыми данными
Элемент a₁₁: 3; Элементы a₁₂=a₂₁: 1; Элемент a₂₂: 3; Первая координата пробного вектора: 1; Вторая координата пробного вектора: 1
Отношение Рэлея: 4; Норма невязки на единицу длины: 0
О расчёте
Как пользоваться калькулятором
Оценивает собственное число по заданному направлению и измеряет невязку приближённого собственного вектора.
Для симметричной A отношение Рэлея ρ(v)=vᵀAv/(vᵀv). Проверочный остаток r=Av−ρv делится по норме на ||v||, чтобы результат не зависел от масштаба пробного вектора; у точного собственного направления он нулевой.
01
Подготовьте данные
Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: элемент a₁₁; элементы a₁₂=a₂₁; элемент a₂₂; первая координата пробного вектора; вторая координата пробного вектора.
02
Проверьте единицы и условия
Вещественная симметричная матрица 2×2 и ненулевой пробный вектор. Итерационный поиск направления не выполняется. Малая невязка характеризует уравнение, но при близких собственных числах не гарантирует точного отдельного собственного вектора.
03
Прочитайте результат
Отношение лежит между крайними собственными числами, но само по себе не доказывает, что направление собственное. Ненулевая невязка показывает отклонение уравнения Av=λv для выбранной оценки.
Подробное объяснение
Как читать результат
Расшифровка показателей, пример вычисления и ограничения метода — без лишних терминов.
01
Что означают результаты
Отношение лежит между крайними собственными числами, но само по себе не доказывает, что направление собственное. Ненулевая невязка показывает отклонение уравнения Av=λv для выбранной оценки.
02
Когда модель применима
Вещественная симметричная матрица 2×2 и ненулевой пробный вектор. Итерационный поиск направления не выполняется. Малая невязка характеризует уравнение, но при близких собственных числах не гарантирует точного отдельного собственного вектора.
Разбор по шагам
Пример расчёта
Пример 1
Исходные данные
Элемент a₁₁: 3; Элементы a₁₂=a₂₁: 1; Элемент a₂₂: 3; Первая координата пробного вектора: 1; Вторая координата пробного вектора: 1
Вычисление
Для симметричной A отношение Рэлея ρ(v)=vᵀAv/(vᵀv). Проверочный остаток r=Av−ρv делится по норме на ||v||, чтобы результат не зависел от масштаба пробного вектора; у точного собственного направления он нулевой. Отношение Рэлея: (((3) × (1)^2+2 × (1) × (1) × (1)+(3) × (1)^2) ÷ ((1)^2+(1)^2)) = 4. Норма невязки на единицу длины: после вычисления по описанной формуле получаем 0.
Результат
Отношение Рэлея: 4; Норма невязки на единицу длины: 0
Отношение лежит между крайними собственными числами, но само по себе не доказывает, что направление собственное. Ненулевая невязка показывает отклонение уравнения Av=λv для выбранной оценки.
Пример 2
Исходные данные
Элемент a₁₁: 3; Элементы a₁₂=a₂₁: 1; Элемент a₂₂: 3; Первая координата пробного вектора: 1; Вторая координата пробного вектора: 0
Вычисление
Отношение Рэлея: (((3) × (1)^2+2 × (1) × (1) × (0)+(3) × (0)^2) ÷ ((1)^2+(0)^2)) = 3. Норма невязки на единицу длины: после вычисления по описанной формуле получаем 1.
Результат
Отношение Рэлея: 3; Норма невязки на единицу длины: 1
Этот вариант использует другие исходные данные: Вторая координата пробного вектора — 0. Отношение лежит между крайними собственными числами, но само по себе не доказывает, что направление собственное. Ненулевая невязка показывает отклонение уравнения Av=λv для выбранной оценки.
Формула и обозначения
Для симметричной A отношение Рэлея ρ(v)=vᵀAv/(vᵀv). Проверочный остаток r=Av−ρv делится по норме на ||v||, чтобы результат не зависел от масштаба пробного вектора; у точного собственного направления он нулевой.
first — элемент a₁₁.
cross — элементы a₁₂=a₂₁.
last — элемент a₂₂.
x — первая координата пробного вектора.
y — вторая координата пробного вектора.
Практическое применение
Оценивает собственное число по заданному направлению и измеряет невязку приближённого собственного вектора. Для симметричной A отношение Рэлея ρ(v)=vᵀAv/(vᵀv). Проверочный остаток r=Av−ρv делится по норме на ||v||, чтобы результат не зависел от масштаба пробного вектора; у точного собственного направления он нулевой.
Отношение лежит между крайними собственными числами, но само по себе не доказывает, что направление собственное. Ненулевая невязка показывает отклонение уравнения Av=λv для выбранной оценки.
Частые ошибки
Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: элемент a₁₁; элементы a₁₂=a₂₁; элемент a₂₂; первая координата пробного вектора; вторая координата пробного вектора.
Вещественная симметричная матрица 2×2 и ненулевой пробный вектор. Итерационный поиск направления не выполняется. Малая невязка характеризует уравнение, но при близких собственных числах не гарантирует точного отдельного собственного вектора.
Источники и допущения
Основание расчёта
Метод, правило или ставка сверены с указанным источником. Последняя проверка этой реализации: 2026-09-30.
Вещественная симметричная матрица 2×2 и ненулевой пробный вектор. Итерационный поиск направления не выполняется. Малая невязка характеризует уравнение, но при близких собственных числах не гарантирует точного отдельного собственного вектора.
Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: элемент a₁₁; элементы a₁₂=a₂₁; элемент a₂₂; первая координата пробного вектора; вторая координата пробного вектора.
Отношение лежит между крайними собственными числами, но само по себе не доказывает, что направление собственное. Ненулевая невязка показывает отклонение уравнения Av=λv для выбранной оценки.
Как проверить расчёт на конкретном примере?＋
Элемент a₁₁: 3; Элементы a₁₂=a₂₁: 1; Элемент a₂₂: 3; Первая координата пробного вектора: 1; Вторая координата пробного вектора: 1. Отношение Рэлея: 4; Норма невязки на единицу длины: 0. Для симметричной A отношение Рэлея ρ(v)=vᵀAv/(vᵀv). Проверочный остаток r=Av−ρv делится по норме на ||v||, чтобы результат не зависел от масштаба пробного вектора; у точного собственного направления он нулевой.
Какие ограничения есть у метода?＋
Вещественная симметричная матрица 2×2 и ненулевой пробный вектор. Итерационный поиск направления не выполняется. Малая невязка характеризует уравнение, но при близких собственных числах не гарантирует точного отдельного собственного вектора.
Можно ли изменить исходные данные и сравнить варианты?＋
Да. Отношение лежит между крайними собственными числами, но само по себе не доказывает, что направление собственное. Ненулевая невязка показывает отклонение уравнения Av=λv для выбранной оценки. Сравнивайте варианты в одинаковых единицах и при неизменных допущениях: Вещественная симметричная матрица 2×2 и ненулевой пробный вектор. Итерационный поиск направления не выполняется. Малая невязка характеризует уравнение, но при близких собственных числах не гарантирует точного отдельного собственного вектора.