Строит полином через три произвольных узла и вычисляет его значение и производную в заданной точке.
∑быстрый расчёт онлайн
Введите данные
Данные не отправляются на сервер
Результат
Значение полинома2,25
Производная полинома3
Формула
Как считается результат
Для трёх различных узлов P(x)=ΣyiLi(x), где Li(x)=(x−xj)(x−xk)/[(xi−xj)(xi−xk)]. Производная каждого базиса Li′(x)=(2x−xj−xk)/[(xi−xj)(xi−xk)]; веса не предполагают одинаковый шаг.
Пример с тестовыми данными
Аргумент первого узла: 0; Значение первого узла: 0; Аргумент второго узла: 1; Значение второго узла: 1; Аргумент третьего узла: 2; Значение третьего узла: 4; Аргумент внутри узлов: 1,5
Значение полинома: 2,25; Производная полинома: 3
О расчёте
Как пользоваться калькулятором
Строит полином через три произвольных узла и вычисляет его значение и производную в заданной точке.
Для трёх различных узлов P(x)=ΣyiLi(x), где Li(x)=(x−xj)(x−xk)/[(xi−xj)(xi−xk)]. Производная каждого базиса Li′(x)=(2x−xj−xk)/[(xi−xj)(xi−xk)]; веса не предполагают одинаковый шаг.
01
Подготовьте данные
Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: аргумент первого узла; значение первого узла; аргумент второго узла; значение второго узла; аргумент третьего узла; значение третьего узла; аргумент внутри узлов.
02
Проверьте единицы и условия
Узлы вводятся в возрастающем порядке, точка находится внутри их диапазона. Очень близкие узлы и большие смещения координат ухудшают численную обусловленность. Нет оценки ошибки без дополнительной гладкости исходной функции; шумные данные лучше сглаживать, а не считать точными.
03
Прочитайте результат
Полином воспроизводит три значения точно и возвращает производную своей модели, а не неизвестной исходной функции. Для квадратной функции интерполяция точна на всём интервале; для других функций возможно заметное отклонение между узлами.
Подробное объяснение
Как читать результат
Расшифровка показателей, пример вычисления и ограничения метода — без лишних терминов.
01
Что означают результаты
Полином воспроизводит три значения точно и возвращает производную своей модели, а не неизвестной исходной функции. Для квадратной функции интерполяция точна на всём интервале; для других функций возможно заметное отклонение между узлами.
02
Когда модель применима
Узлы вводятся в возрастающем порядке, точка находится внутри их диапазона. Очень близкие узлы и большие смещения координат ухудшают численную обусловленность. Нет оценки ошибки без дополнительной гладкости исходной функции; шумные данные лучше сглаживать, а не считать точными.
Разбор по шагам
Пример расчёта
Пример 1
Исходные данные
Аргумент первого узла: 0; Значение первого узла: 0; Аргумент второго узла: 1; Значение второго узла: 1; Аргумент третьего узла: 2; Значение третьего узла: 4; Аргумент внутри узлов: 1,5
Вычисление
Для трёх различных узлов P(x)=ΣyiLi(x), где Li(x)=(x−xj)(x−xk)/[(xi−xj)(xi−xk)]. Производная каждого базиса Li′(x)=(2x−xj−xk)/[(xi−xj)(xi−xk)]; веса не предполагают одинаковый шаг. Значение полинома: после вычисления по описанной формуле получаем 2,25. Производная полинома: ((0) × (2 × (1,5)-(1)-(2)) ÷ (((0)-(1)) × ((0)-(2)))+(1) × (2 × (1,5)-(0)-(2)) ÷ (((1)-(0)) × ((1)-(2)))+(4) × (2 × (1,5)-(0)-(1)) ÷ (((2)-(0)) × ((2)-(1)))) = 3.
Результат
Значение полинома: 2,25; Производная полинома: 3
Полином воспроизводит три значения точно и возвращает производную своей модели, а не неизвестной исходной функции. Для квадратной функции интерполяция точна на всём интервале; для других функций возможно заметное отклонение между узлами.
Пример 2
Исходные данные
Аргумент первого узла: 0; Значение первого узла: 0; Аргумент второго узла: 1; Значение второго узла: 1; Аргумент третьего узла: 2; Значение третьего узла: 4; Аргумент внутри узлов: 0
Этот вариант использует другие исходные данные: Аргумент внутри узлов — 0. Полином воспроизводит три значения точно и возвращает производную своей модели, а не неизвестной исходной функции. Для квадратной функции интерполяция точна на всём интервале; для других функций возможно заметное отклонение между узлами.
Формула и обозначения
Для трёх различных узлов P(x)=ΣyiLi(x), где Li(x)=(x−xj)(x−xk)/[(xi−xj)(xi−xk)]. Производная каждого базиса Li′(x)=(2x−xj−xk)/[(xi−xj)(xi−xk)]; веса не предполагают одинаковый шаг.
xa — аргумент первого узла.
ya — значение первого узла.
xb — аргумент второго узла.
yb — значение второго узла.
xc — аргумент третьего узла.
yc — значение третьего узла.
point — аргумент внутри узлов.
Практическое применение
Строит полином через три произвольных узла и вычисляет его значение и производную в заданной точке. Для трёх различных узлов P(x)=ΣyiLi(x), где Li(x)=(x−xj)(x−xk)/[(xi−xj)(xi−xk)]. Производная каждого базиса Li′(x)=(2x−xj−xk)/[(xi−xj)(xi−xk)]; веса не предполагают одинаковый шаг.
Полином воспроизводит три значения точно и возвращает производную своей модели, а не неизвестной исходной функции. Для квадратной функции интерполяция точна на всём интервале; для других функций возможно заметное отклонение между узлами.
Частые ошибки
Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: аргумент первого узла; значение первого узла; аргумент второго узла; значение второго узла; аргумент третьего узла; значение третьего узла; аргумент внутри узлов.
Узлы вводятся в возрастающем порядке, точка находится внутри их диапазона. Очень близкие узлы и большие смещения координат ухудшают численную обусловленность. Нет оценки ошибки без дополнительной гладкости исходной функции; шумные данные лучше сглаживать, а не считать точными.
Источники и допущения
Основание расчёта
Метод, правило или ставка сверены с указанным источником. Последняя проверка этой реализации: 2026-09-30.
Узлы вводятся в возрастающем порядке, точка находится внутри их диапазона. Очень близкие узлы и большие смещения координат ухудшают численную обусловленность. Нет оценки ошибки без дополнительной гладкости исходной функции; шумные данные лучше сглаживать, а не считать точными.
Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: аргумент первого узла; значение первого узла; аргумент второго узла; значение второго узла; аргумент третьего узла; значение третьего узла; аргумент внутри узлов.
Полином воспроизводит три значения точно и возвращает производную своей модели, а не неизвестной исходной функции. Для квадратной функции интерполяция точна на всём интервале; для других функций возможно заметное отклонение между узлами.
Как проверить расчёт на конкретном примере?＋
Аргумент первого узла: 0; Значение первого узла: 0; Аргумент второго узла: 1; Значение второго узла: 1; Аргумент третьего узла: 2; Значение третьего узла: 4; Аргумент внутри узлов: 1,5. Значение полинома: 2,25; Производная полинома: 3. Для трёх различных узлов P(x)=ΣyiLi(x), где Li(x)=(x−xj)(x−xk)/[(xi−xj)(xi−xk)]. Производная каждого базиса Li′(x)=(2x−xj−xk)/[(xi−xj)(xi−xk)]; веса не предполагают одинаковый шаг.
Какие ограничения есть у метода?＋
Узлы вводятся в возрастающем порядке, точка находится внутри их диапазона. Очень близкие узлы и большие смещения координат ухудшают численную обусловленность. Нет оценки ошибки без дополнительной гладкости исходной функции; шумные данные лучше сглаживать, а не считать точными.
Можно ли изменить исходные данные и сравнить варианты?＋
Да. Полином воспроизводит три значения точно и возвращает производную своей модели, а не неизвестной исходной функции. Для квадратной функции интерполяция точна на всём интервале; для других функций возможно заметное отклонение между узлами. Сравнивайте варианты в одинаковых единицах и при неизменных допущениях: Узлы вводятся в возрастающем порядке, точка находится внутри их диапазона. Очень близкие узлы и большие смещения координат ухудшают численную обусловленность. Нет оценки ошибки без дополнительной гладкости исходной функции; шумные данные лучше сглаживать, а не считать точными.