Математика

Барицентрические веса точки в треугольнике

Определяет три веса плоской точки относительно вершин и линейно интерполирует величину по вершинам.

∑быстрый расчёт
онлайн

Введите данные

X вершины A

Y вершины A

X вершины B

Y вершины B

X вершины C

Y вершины C

X рассматриваемой точки

Y рассматриваемой точки

Значение в вершине A

Значение в вершине B

Значение в вершине C

Данные не отправляются на сервер

Результат

Вес вершины A0,5

Вес вершины B0,25

Вес вершины C0,25

Линейно интерполированная величина17,5

Формула

Как считается результат

Веса λA, λB, λC решают P=λAA+λBB+λCC и λA+λB+λC=1. Два веса получают делением ориентированных определителей на определитель треугольника, третий — дополнением. Значение F(P)=λAfA+λBfB+λCfC.

Пример с тестовыми данными

Вес вершины A: 0,5; Вес вершины B: 0,25; Вес вершины C: 0,25; Линейно интерполированная величина: 17,5

О расчёте

Как пользоваться
калькулятором

Определяет три веса плоской точки относительно вершин и линейно интерполирует величину по вершинам.

01
Подготовьте данные
Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: x вершины a; y вершины a; x вершины b; y вершины b; x вершины c; y вершины c; x рассматриваемой точки; y рассматриваемой точки; значение в вершине a; значение в вершине b; значение в вершине c.
02
Проверьте единицы и условия
Вершины в одной плоской системе координат и не лежат на одной прямой. Почти вырожденный треугольник ухудшает точность; высоту, географическую кривизну и перспективную поправку инструмент не учитывает. Интерполяция величины предполагается линейной по плоскости.
03
Прочитайте результат
Если все веса неотрицательны, точка принадлежит замкнутому треугольнику; нулевой вес соответствует ребру. Отрицательный вес разрешён и обозначает экстраполяцию вне треугольника, а не ошибку арифметики.

Подробное объяснение

Как читать результат

Расшифровка показателей, пример вычисления и ограничения метода — без лишних терминов.

Что означают результаты

Если все веса неотрицательны, точка принадлежит замкнутому треугольнику; нулевой вес соответствует ребру. Отрицательный вес разрешён и обозначает экстраполяцию вне треугольника, а не ошибку арифметики.

Когда модель применима

Вершины в одной плоской системе координат и не лежат на одной прямой. Почти вырожденный треугольник ухудшает точность; высоту, географическую кривизну и перспективную поправку инструмент не учитывает. Интерполяция величины предполагается линейной по плоскости.

Разбор по шагам

Пример расчёта

Пример 1

Исходные данные: X вершины A: 0; Y вершины A: 0; X вершины B: 2; Y вершины B: 0; X вершины C: 0; Y вершины C: 2; X рассматриваемой точки: 0,5; Y рассматриваемой точки: 0,5; Значение в вершине A: 10; Значение в вершине B: 20; Значение в вершине C: 30
Вычисление: Веса λA, λB, λC решают P=λAA+λBB+λCC и λA+λB+λC=1. Два веса получают делением ориентированных определителей на определитель треугольника, третий — дополнением. Значение F(P)=λAfA+λBfB+λCfC. Вес вершины A: ((((0)-(2)) × ((0,5)-(0))+((0)-(2)) × ((0,5)-(2))) ÷ (((0)-(2)) × ((0)-(0))+((0)-(2)) × ((0)-(2)))) = 0,5. Вес вершины B: ((((2)-(0)) × ((0,5)-(0))+((0)-(0)) × ((0,5)-(2))) ÷ (((0)-(2)) × ((0)-(0))+((0)-(2)) × ((0)-(2)))) = 0,25. Вес вершины C: после вычисления по описанной формуле получаем 0,25. Линейно интерполированная величина: после вычисления по описанной формуле получаем 17,5.
Результат: Вес вершины A: 0,5; Вес вершины B: 0,25; Вес вершины C: 0,25; Линейно интерполированная величина: 17,5

Пример 2

Исходные данные: X вершины A: 0; Y вершины A: 0; X вершины B: 2; Y вершины B: 0; X вершины C: 0; Y вершины C: 2; X рассматриваемой точки: 2; Y рассматриваемой точки: 0; Значение в вершине A: 10; Значение в вершине B: 20; Значение в вершине C: 30
Вычисление: Вес вершины A: ((((0)-(2)) × ((2)-(0))+((0)-(2)) × ((0)-(2))) ÷ (((0)-(2)) × ((0)-(0))+((0)-(2)) × ((0)-(2)))) = 0. Вес вершины B: ((((2)-(0)) × ((2)-(0))+((0)-(0)) × ((0)-(2))) ÷ (((0)-(2)) × ((0)-(0))+((0)-(2)) × ((0)-(2)))) = 1. Вес вершины C: после вычисления по описанной формуле получаем 0. Линейно интерполированная величина: после вычисления по описанной формуле получаем 20.
Результат: Вес вершины A: 0; Вес вершины B: 1; Вес вершины C: 0; Линейно интерполированная величина: 20

Этот вариант использует другие исходные данные: X рассматриваемой точки — 2; Y рассматриваемой точки — 0. Если все веса неотрицательны, точка принадлежит замкнутому треугольнику; нулевой вес соответствует ребру. Отрицательный вес разрешён и обозначает экстраполяцию вне треугольника, а не ошибку арифметики.

Формула и обозначения

xa — x вершины a.

ya — y вершины a.

xb — x вершины b.

yb — y вершины b.

xc — x вершины c.

yc — y вершины c.

xx — x рассматриваемой точки.

yy — y рассматриваемой точки.

valuea — значение в вершине a.

valueb — значение в вершине b.

valuec — значение в вершине c.

Практическое применение

Определяет три веса плоской точки относительно вершин и линейно интерполирует величину по вершинам. Веса λA, λB, λC решают P=λAA+λBB+λCC и λA+λB+λC=1. Два веса получают делением ориентированных определителей на определитель треугольника, третий — дополнением. Значение F(P)=λAfA+λBfB+λCfC.

Частые ошибки

Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: x вершины a; y вершины a; x вершины b; y вершины b; x вершины c; y вершины c; x рассматриваемой точки; y рассматриваемой точки; значение в вершине a; значение в вершине b; значение в вершине c.

Источники и допущения

Основание расчёта

Метод, правило или ставка сверены с указанным источником. Последняя проверка этой реализации: 2026-09-30.

Вершины в одной плоской системе координат и не лежат на одной прямой. Почти вырожденный треугольник ухудшает точность; высоту, географическую кривизну и перспективную поправку инструмент не учитывает. Интерполяция величины предполагается линейной по плоскости.
Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: x вершины a; y вершины a; x вершины b; y вершины b; x вершины c; y вершины c; x рассматриваемой точки; y рассматриваемой точки; значение в вершине a; значение в вершине b; значение в вершине c.

PBRT: барицентрические координаты и интерполяция по треугольнику ↗

Коротко о главном

Вопросы
и ответы

Что показывает «вес вершины a»?＋

Как проверить расчёт на конкретном примере?＋

X вершины A: 0; Y вершины A: 0; X вершины B: 2; Y вершины B: 0; X вершины C: 0; Y вершины C: 2; X рассматриваемой точки: 0,5; Y рассматриваемой точки: 0,5; Значение в вершине A: 10; Значение в вершине B: 20; Значение в вершине C: 30. Вес вершины A: 0,5; Вес вершины B: 0,25; Вес вершины C: 0,25; Линейно интерполированная величина: 17,5. Веса λA, λB, λC решают P=λAA+λBB+λCC и λA+λB+λC=1. Два веса получают делением ориентированных определителей на определитель треугольника, третий — дополнением. Значение F(P)=λAfA+λBfB+λCfC.

Какие ограничения есть у метода?＋

Можно ли изменить исходные данные и сравнить варианты?＋

Да. Если все веса неотрицательны, точка принадлежит замкнутому треугольнику; нулевой вес соответствует ребру. Отрицательный вес разрешён и обозначает экстраполяцию вне треугольника, а не ошибку арифметики. Сравнивайте варианты в одинаковых единицах и при неизменных допущениях: Вершины в одной плоской системе координат и не лежат на одной прямой. Почти вырожденный треугольник ухудшает точность; высоту, географическую кривизну и перспективную поправку инструмент не учитывает. Интерполяция величины предполагается линейной по плоскости.