Математика

Кубическая кривая Безье: точка и касательная

Вычисляет положение и вектор производной плоской кубической кривой по четырём управляющим точкам.

∑быстрый расчёт
онлайн

Введите данные

X начальной точки

Y начальной точки

X первого управляющего узла

Y первого управляющего узла

X второго управляющего узла

Y второго управляющего узла

X конечной точки

Y конечной точки

Параметр t

Данные не отправляются на сервер

Результат

Координата X1,5

Координата Y1,5

Компонента касательной dX/dt3

Компонента касательной dY/dt0

Формула

Как считается результат

B(t)=(1−t)³P0+3(1−t)²tP1+3(1−t)t²P2+t³P3. B′(t)=3[(1−t)²(P1−P0)+2(1−t)t(P2−P1)+t²(P3−P2)]. Формулы применяются отдельно к координатам X и Y.

Пример с тестовыми данными

Координата X: 1,5; Координата Y: 1,5; Компонента касательной dX/dt: 3; Компонента касательной dY/dt: 0

О расчёте

Как пользоваться
калькулятором

Вычисляет положение и вектор производной плоской кубической кривой по четырём управляющим точкам.

01
Подготовьте данные
Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: x начальной точки; y начальной точки; x первого управляющего узла; y первого управляющего узла; x второго управляющего узла; y второго управляющего узла; x конечной точки; y конечной точки; параметр t.
02
Проверьте единицы и условия
Параметр t между нулём и единицей не равен доле пройденной длины дуги. Это одна плоская кубическая кривая, без расчёта длины, кривизны, самопересечений или времени движения; для физической скорости требуется известный закон t(time).
03
Прочитайте результат
Кривая проходит через P0 и P3, но обычно не проходит через управляющие P1 и P2. Касательная направлена вдоль производной; её модуль не является единичным и может обратиться в ноль при вырожденной конфигурации.

Подробное объяснение

Как читать результат

Расшифровка показателей, пример вычисления и ограничения метода — без лишних терминов.

Что означают результаты

Кривая проходит через P0 и P3, но обычно не проходит через управляющие P1 и P2. Касательная направлена вдоль производной; её модуль не является единичным и может обратиться в ноль при вырожденной конфигурации.

Когда модель применима

Параметр t между нулём и единицей не равен доле пройденной длины дуги. Это одна плоская кубическая кривая, без расчёта длины, кривизны, самопересечений или времени движения; для физической скорости требуется известный закон t(time).

Разбор по шагам

Пример расчёта

Пример 1

Исходные данные: X начальной точки: 0; Y начальной точки: 0; X первого управляющего узла: 1; Y первого управляющего узла: 2; X второго управляющего узла: 2; Y второго управляющего узла: 2; X конечной точки: 3; Y конечной точки: 0; Параметр t: 0,5
Вычисление: B(t)=(1−t)³P0+3(1−t)²tP1+3(1−t)t²P2+t³P3. B′(t)=3[(1−t)²(P1−P0)+2(1−t)t(P2−P1)+t²(P3−P2)]. Формулы применяются отдельно к координатам X и Y. Координата X: ((1-(0,5))^3 × (0)+3 × (1-(0,5))^2 × (0,5) × (1)+3 × (1-(0,5)) × (0,5)^2 × (2)+(0,5)^3 × (3)) = 1,5. Координата Y: ((1-(0,5))^3 × (0)+3 × (1-(0,5))^2 × (0,5) × (2)+3 × (1-(0,5)) × (0,5)^2 × (2)+(0,5)^3 × (0)) = 1,5. Компонента касательной dX/dt: (3 × ((1-(0,5))^2 × ((1)-(0))+2 × (1-(0,5)) × (0,5) × ((2)-(1))+(0,5)^2 × ((3)-(2)))) = 3. Компонента касательной dY/dt: (3 × ((1-(0,5))^2 × ((2)-(0))+2 × (1-(0,5)) × (0,5) × ((2)-(2))+(0,5)^2 × ((0)-(2)))) = 0.
Результат: Координата X: 1,5; Координата Y: 1,5; Компонента касательной dX/dt: 3; Компонента касательной dY/dt: 0

Пример 2

Исходные данные: X начальной точки: 0; Y начальной точки: 0; X первого управляющего узла: 1; Y первого управляющего узла: 2; X второго управляющего узла: 2; Y второго управляющего узла: 2; X конечной точки: 3; Y конечной точки: 0; Параметр t: 0
Вычисление: Координата X: ((1-(0))^3 × (0)+3 × (1-(0))^2 × (0) × (1)+3 × (1-(0)) × (0)^2 × (2)+(0)^3 × (3)) = 0. Координата Y: ((1-(0))^3 × (0)+3 × (1-(0))^2 × (0) × (2)+3 × (1-(0)) × (0)^2 × (2)+(0)^3 × (0)) = 0. Компонента касательной dX/dt: (3 × ((1-(0))^2 × ((1)-(0))+2 × (1-(0)) × (0) × ((2)-(1))+(0)^2 × ((3)-(2)))) = 3. Компонента касательной dY/dt: (3 × ((1-(0))^2 × ((2)-(0))+2 × (1-(0)) × (0) × ((2)-(2))+(0)^2 × ((0)-(2)))) = 6.
Результат: Координата X: 0; Координата Y: 0; Компонента касательной dX/dt: 3; Компонента касательной dY/dt: 6

Этот вариант использует другие исходные данные: Параметр t — 0. Кривая проходит через P0 и P3, но обычно не проходит через управляющие P1 и P2. Касательная направлена вдоль производной; её модуль не является единичным и может обратиться в ноль при вырожденной конфигурации.

Формула и обозначения

xa — x начальной точки.

ya — y начальной точки.

xb — x первого управляющего узла.

yb — y первого управляющего узла.

xc — x второго управляющего узла.

yc — y второго управляющего узла.

xd — x конечной точки.

yd — y конечной точки.

parameter — параметр t.

Практическое применение

Вычисляет положение и вектор производной плоской кубической кривой по четырём управляющим точкам. B(t)=(1−t)³P0+3(1−t)²tP1+3(1−t)t²P2+t³P3. B′(t)=3[(1−t)²(P1−P0)+2(1−t)t(P2−P1)+t²(P3−P2)]. Формулы применяются отдельно к координатам X и Y.

Частые ошибки

Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: x начальной точки; y начальной точки; x первого управляющего узла; y первого управляющего узла; x второго управляющего узла; y второго управляющего узла; x конечной точки; y конечной точки; параметр t.

Источники и допущения

Основание расчёта

Метод, правило или ставка сверены с указанным источником. Последняя проверка этой реализации: 2026-09-30.

Параметр t между нулём и единицей не равен доле пройденной длины дуги. Это одна плоская кубическая кривая, без расчёта длины, кривизны, самопересечений или времени движения; для физической скорости требуется известный закон t(time).
Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: x начальной точки; y начальной точки; x первого управляющего узла; y первого управляющего узла; x второго управляющего узла; y второго управляющего узла; x конечной точки; y конечной точки; параметр t.

MIT: полиномы Бернштейна и кривые Безье ↗

Коротко о главном

Вопросы
и ответы

Что показывает «координата x»?＋

Как проверить расчёт на конкретном примере?＋

X начальной точки: 0; Y начальной точки: 0; X первого управляющего узла: 1; Y первого управляющего узла: 2; X второго управляющего узла: 2; Y второго управляющего узла: 2; X конечной точки: 3; Y конечной точки: 0; Параметр t: 0,5. Координата X: 1,5; Координата Y: 1,5; Компонента касательной dX/dt: 3; Компонента касательной dY/dt: 0. B(t)=(1−t)³P0+3(1−t)²tP1+3(1−t)t²P2+t³P3. B′(t)=3[(1−t)²(P1−P0)+2(1−t)t(P2−P1)+t²(P3−P2)]. Формулы применяются отдельно к координатам X и Y.

Какие ограничения есть у метода?＋

Можно ли изменить исходные данные и сравнить варианты?＋

Да. Кривая проходит через P0 и P3, но обычно не проходит через управляющие P1 и P2. Касательная направлена вдоль производной; её модуль не является единичным и может обратиться в ноль при вырожденной конфигурации. Сравнивайте варианты в одинаковых единицах и при неизменных допущениях: Параметр t между нулём и единицей не равен доле пройденной длины дуги. Это одна плоская кубическая кривая, без расчёта длины, кривизны, самопересечений или времени движения; для физической скорости требуется известный закон t(time).