Производство

Контакт Герца: сфера и плоскость

Оценивает радиус круглой области контакта, пиковое давление и сближение двух линейно упругих тел.

⚙быстрый расчёт
онлайн

Введите данные

Нормальная прижимающая сила

Радиус сферы

мм

Модуль Юнга сферы

ГПа

Коэффициент Пуассона сферы

Модуль Юнга плоскости

ГПа

Коэффициент Пуассона плоскости

Данные не отправляются на сервер

Результат

Приведённый модуль контакта109 890,10989МПа

Радиус области контакта0,0409 мм

Пиковое контактное давление285,8948 МПа

Сближение тел0,0002 мм

Формула

Как считается результат

Приведённый модуль удовлетворяет 1/E*=(1−ν₁²)/E₁+(1−ν₂²)/E₂. Для сферы на плоскости a=(3FR/(4E*))^(1/3), p₀=3F/(2πa²), сближение δ=a²/R. Модули из ГПа переводятся в МПа.

Пример с тестовыми данными

Приведённый модуль контакта: 109 890,1099 МПа; Радиус области контакта: 0,04086651013 мм; Пиковое контактное давление: 285,8948173 МПа; Сближение тел: 0,000167007165 мм

О расчёте

Как пользоваться
калькулятором

Оценивает радиус круглой области контакта, пиковое давление и сближение двух линейно упругих тел.

01
Подготовьте данные
Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: нормальная прижимающая сила в Н; радиус сферы в мм; модуль юнга сферы в ГПа; коэффициент пуассона сферы; модуль юнга плоскости в ГПа; коэффициент пуассона плоскости.
02
Проверьте единицы и условия
Гладкие изотропные линейно упругие тела, малый контакт a/R≤0,1, без трения, адгезии и пластичности. Ограничение геометрии не проверяет текучесть; коэффициенты Пуассона здесь ограничены обычными неауксетическими материалами. Результат не подтверждает ресурс подшипника.
03
Прочитайте результат
Пиковое давление в центре выше среднего давления F/(πa²) в 1,5 раза. Радиус контакта растёт как F^(1/3), сближение — как F^(2/3), поэтому удвоение силы не удваивает площадь.

Подробное объяснение

Как читать результат

Расшифровка показателей, пример вычисления и ограничения метода — без лишних терминов.

Что означают результаты

Пиковое давление в центре выше среднего давления F/(πa²) в 1,5 раза. Радиус контакта растёт как F^(1/3), сближение — как F^(2/3), поэтому удвоение силы не удваивает площадь.

Когда модель применима

Гладкие изотропные линейно упругие тела, малый контакт a/R≤0,1, без трения, адгезии и пластичности. Ограничение геометрии не проверяет текучесть; коэффициенты Пуассона здесь ограничены обычными неауксетическими материалами. Результат не подтверждает ресурс подшипника.

Разбор по шагам

Пример расчёта

Пример 1

Исходные данные: Нормальная прижимающая сила: 1 Н; Радиус сферы: 10 мм; Модуль Юнга сферы: 200 ГПа; Коэффициент Пуассона сферы: 0,3; Модуль Юнга плоскости: 200 ГПа; Коэффициент Пуассона плоскости: 0,3
Вычисление: Приведённый модуль удовлетворяет 1/E*=(1−ν₁²)/E₁+(1−ν₂²)/E₂. Для сферы на плоскости a=(3FR/(4E*))^(1/3), p₀=3F/(2πa²), сближение δ=a²/R. Модули из ГПа переводятся в МПа. Приведённый модуль контакта: (1 ÷ ((1-(0,3)^2) ÷ ((200) × 1000)+(1-(0,3)^2) ÷ ((200) × 1000))) = 109 890,1099 МПа. Радиус области контакта: (3 × (1) × (10) ÷ (4 × (1 ÷ ((1-(0,3)^2) ÷ ((200) × 1000)+(1-(0,3)^2) ÷ ((200) × 1000)))))^(1 ÷ 3) = 0,04086651013 мм. Пиковое контактное давление: 3 × (1) ÷ (2 × π × ((3 × (1) × (10) ÷ (4 × (1 ÷ ((1-(0,3)^2) ÷ ((200) × 1000)+(1-(0,3)^2) ÷ ((200) × 1000)))))^(1 ÷ 3))^2) = 285,8948173 МПа. Сближение тел: ((3 × (1) × (10) ÷ (4 × (1 ÷ ((1-(0,3)^2) ÷ ((200) × 1000)+(1-(0,3)^2) ÷ ((200) × 1000)))))^(1 ÷ 3))^2 ÷ (10) = 0,000167007165 мм.
Результат: Приведённый модуль контакта: 109 890,1099 МПа; Радиус области контакта: 0,04086651013 мм; Пиковое контактное давление: 285,8948173 МПа; Сближение тел: 0,000167007165 мм

Пример 2

Исходные данные: Нормальная прижимающая сила: 2 Н; Радиус сферы: 10 мм; Модуль Юнга сферы: 200 ГПа; Коэффициент Пуассона сферы: 0,3; Модуль Юнга плоскости: 200 ГПа; Коэффициент Пуассона плоскости: 0,3
Вычисление: Приведённый модуль контакта: (1 ÷ ((1-(0,3)^2) ÷ ((200) × 1000)+(1-(0,3)^2) ÷ ((200) × 1000))) = 109 890,1099 МПа. Радиус области контакта: (3 × (2) × (10) ÷ (4 × (1 ÷ ((1-(0,3)^2) ÷ ((200) × 1000)+(1-(0,3)^2) ÷ ((200) × 1000)))))^(1 ÷ 3) = 0,05148857635 мм. Пиковое контактное давление: 3 × (2) ÷ (2 × π × ((3 × (2) × (10) ÷ (4 × (1 ÷ ((1-(0,3)^2) ÷ ((200) × 1000)+(1-(0,3)^2) ÷ ((200) × 1000)))))^(1 ÷ 3))^2) = 360,2048984 МПа. Сближение тел: ((3 × (2) × (10) ÷ (4 × (1 ÷ ((1-(0,3)^2) ÷ ((200) × 1000)+(1-(0,3)^2) ÷ ((200) × 1000)))))^(1 ÷ 3))^2 ÷ (10) = 0,0002651073494 мм.
Результат: Приведённый модуль контакта: 109 890,1099 МПа; Радиус области контакта: 0,05148857635 мм; Пиковое контактное давление: 360,2048984 МПа; Сближение тел: 0,0002651073494 мм

Этот вариант использует другие исходные данные: Нормальная прижимающая сила — 2. Пиковое давление в центре выше среднего давления F/(πa²) в 1,5 раза. Радиус контакта растёт как F^(1/3), сближение — как F^(2/3), поэтому удвоение силы не удваивает площадь.

Формула и обозначения

force — нормальная прижимающая сила, единица: Н.

radius — радиус сферы, единица: мм.

first — модуль юнга сферы, единица: ГПа.

poissonfirst — коэффициент пуассона сферы.

second — модуль юнга плоскости, единица: ГПа.

poissonsecond — коэффициент пуассона плоскости.

Практическое применение

Оценивает радиус круглой области контакта, пиковое давление и сближение двух линейно упругих тел. Приведённый модуль удовлетворяет 1/E*=(1−ν₁²)/E₁+(1−ν₂²)/E₂. Для сферы на плоскости a=(3FR/(4E*))^(1/3), p₀=3F/(2πa²), сближение δ=a²/R. Модули из ГПа переводятся в МПа.

Частые ошибки

Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: нормальная прижимающая сила в Н; радиус сферы в мм; модуль юнга сферы в ГПа; коэффициент пуассона сферы; модуль юнга плоскости в ГПа; коэффициент пуассона плоскости.

Источники и допущения

Основание расчёта

Метод, правило или ставка сверены с указанным источником. Последняя проверка этой реализации: 2026-09-30.

Гладкие изотропные линейно упругие тела, малый контакт a/R≤0,1, без трения, адгезии и пластичности. Ограничение геометрии не проверяет текучесть; коэффициенты Пуассона здесь ограничены обычными неауксетическими материалами. Результат не подтверждает ресурс подшипника.
Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: нормальная прижимающая сила в Н; радиус сферы в мм; модуль юнга сферы в ГПа; коэффициент пуассона сферы; модуль юнга плоскости в ГПа; коэффициент пуассона плоскости.

Inria CompuTiX: контакт сферы и плоскости по Герцу ↗

Коротко о главном

Вопросы
и ответы

Что показывает «приведённый модуль контакта»?＋

Как проверить расчёт на конкретном примере?＋

Нормальная прижимающая сила: 1 Н; Радиус сферы: 10 мм; Модуль Юнга сферы: 200 ГПа; Коэффициент Пуассона сферы: 0,3; Модуль Юнга плоскости: 200 ГПа; Коэффициент Пуассона плоскости: 0,3. Приведённый модуль контакта: 109 890,1099 МПа; Радиус области контакта: 0,04086651013 мм; Пиковое контактное давление: 285,8948173 МПа; Сближение тел: 0,000167007165 мм. Приведённый модуль удовлетворяет 1/E*=(1−ν₁²)/E₁+(1−ν₂²)/E₂. Для сферы на плоскости a=(3FR/(4E*))^(1/3), p₀=3F/(2πa²), сближение δ=a²/R. Модули из ГПа переводятся в МПа.

Какие ограничения есть у метода?＋

Можно ли изменить исходные данные и сравнить варианты?＋

Да. Пиковое давление в центре выше среднего давления F/(πa²) в 1,5 раза. Радиус контакта растёт как F^(1/3), сближение — как F^(2/3), поэтому удвоение силы не удваивает площадь. Сравнивайте варианты в одинаковых единицах и при неизменных допущениях: Гладкие изотропные линейно упругие тела, малый контакт a/R≤0,1, без трения, адгезии и пластичности. Ограничение геометрии не проверяет текучесть; коэффициенты Пуассона здесь ограничены обычными неауксетическими материалами. Результат не подтверждает ресурс подшипника.