Производство

Эйлер: критическая сила идеального стержня

Оценивает упругую критическую силу сжатия через приведённую длину, жёсткость и радиус инерции сечения.

⚙быстрый расчёт
онлайн

Введите данные

Модуль Юнга

ГПа

Момент инерции относительно оси потери устойчивости

мм⁴

Площадь сечения

мм²

Длина стержня

мм

Коэффициент приведённой длины K

Заданный предел пропорциональности материала

МПа

Данные не отправляются на сервер

Результат

Упругая критическая сила39 478,417604Н

Критическое среднее напряжение39,4784 МПа

Гибкость по приведённой длине223,6068

Формула

Как считается результат

Упругая критическая сила = (pi^2*modulus*1000*inertia/(factor*length)^2) (Н); Критическое среднее напряжение = (pi^2*modulus*1000*inertia/(factor*length)^2)/area (МПа); Гибкость по приведённой длине = factor*length/sqrt(inertia/area)

Пример с тестовыми данными

Упругая критическая сила: 39 478,4176 Н; Критическое среднее напряжение: 39,4784176 МПа; Гибкость по приведённой длине: 223,6067977

О расчёте

Как пользоваться
калькулятором

Оценивает упругую критическую силу сжатия через приведённую длину, жёсткость и радиус инерции сечения.

Для идеального прямого стержня Pcr=π²EI/(KL)². Радиус инерции r=√(I/A), гибкость λ=KL/r; E переводится в МПа. Ось I выбирается для рассматриваемой формы потери устойчивости.

01
Подготовьте данные
Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: модуль юнга в ГПа; момент инерции относительно оси потери устойчивости в мм⁴; площадь сечения в мм²; длина стержня в мм; коэффициент приведённой длины k; заданный предел пропорциональности материала в МПа.
02
Проверьте единицы и условия
Идеальный центрально сжатый стержень с известными закреплениями, без начальной кривизны, эксцентриситета и остаточных напряжений. K и предел пропорциональности не подбираются автоматически; результат не является нормативной расчётной несущей способностью.
03
Прочитайте результат
Удвоение приведённой длины уменьшает критическую силу в четыре раза. Ограничение Pcr/A ниже заданного предела пропорциональности отсекает явно неупругую область, но не доказывает применимость Эйлера к реальной детали.

Подробное объяснение

Как читать результат

Расшифровка показателей, пример вычисления и ограничения метода — без лишних терминов.

Что означают результаты

Удвоение приведённой длины уменьшает критическую силу в четыре раза. Ограничение Pcr/A ниже заданного предела пропорциональности отсекает явно неупругую область, но не доказывает применимость Эйлера к реальной детали.

Когда модель применима

Идеальный центрально сжатый стержень с известными закреплениями, без начальной кривизны, эксцентриситета и остаточных напряжений. K и предел пропорциональности не подбираются автоматически; результат не является нормативной расчётной несущей способностью.

Разбор по шагам

Пример расчёта

Пример 1

Исходные данные: Модуль Юнга: 200 ГПа; Момент инерции относительно оси потери устойчивости: 80 000 мм⁴; Площадь сечения: 1 000 мм²; Длина стержня: 2 000 мм; Коэффициент приведённой длины K: 1; Заданный предел пропорциональности материала: 250 МПа
Вычисление: Для идеального прямого стержня Pcr=π²EI/(KL)². Радиус инерции r=√(I/A), гибкость λ=KL/r; E переводится в МПа. Ось I выбирается для рассматриваемой формы потери устойчивости. Упругая критическая сила: (π^2 × (200) × 1000 × (80 000) ÷ ((1) × (2 000))^2) = 39 478,4176 Н. Критическое среднее напряжение: (π^2 × (200) × 1000 × (80 000) ÷ ((1) × (2 000))^2) ÷ (1 000) = 39,4784176 МПа. Гибкость по приведённой длине: (1) × (2 000) ÷ sqrt((80 000) ÷ (1 000)) = 223,6067977.
Результат: Упругая критическая сила: 39 478,4176 Н; Критическое среднее напряжение: 39,4784176 МПа; Гибкость по приведённой длине: 223,6067977

Пример 2

Исходные данные: Модуль Юнга: 200 ГПа; Момент инерции относительно оси потери устойчивости: 80 000 мм⁴; Площадь сечения: 1 000 мм²; Длина стержня: 2 000 мм; Коэффициент приведённой длины K: 2; Заданный предел пропорциональности материала: 250 МПа
Вычисление: Упругая критическая сила: (π^2 × (200) × 1000 × (80 000) ÷ ((2) × (2 000))^2) = 9 869,604401 Н. Критическое среднее напряжение: (π^2 × (200) × 1000 × (80 000) ÷ ((2) × (2 000))^2) ÷ (1 000) = 9,869604401 МПа. Гибкость по приведённой длине: (2) × (2 000) ÷ sqrt((80 000) ÷ (1 000)) = 447,2135955.
Результат: Упругая критическая сила: 9 869,604401 Н; Критическое среднее напряжение: 9,869604401 МПа; Гибкость по приведённой длине: 447,2135955

Этот вариант использует другие исходные данные: Коэффициент приведённой длины K — 2. Удвоение приведённой длины уменьшает критическую силу в четыре раза. Ограничение Pcr/A ниже заданного предела пропорциональности отсекает явно неупругую область, но не доказывает применимость Эйлера к реальной детали.

Формула и обозначения

modulus — модуль юнга, единица: ГПа.

inertia — момент инерции относительно оси потери устойчивости, единица: мм⁴.

area — площадь сечения, единица: мм².

length — длина стержня, единица: мм.

factor — коэффициент приведённой длины k.

limit — заданный предел пропорциональности материала, единица: МПа.

Практическое применение

Оценивает упругую критическую силу сжатия через приведённую длину, жёсткость и радиус инерции сечения. Для идеального прямого стержня Pcr=π²EI/(KL)². Радиус инерции r=√(I/A), гибкость λ=KL/r; E переводится в МПа. Ось I выбирается для рассматриваемой формы потери устойчивости.

Частые ошибки

Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: модуль юнга в ГПа; момент инерции относительно оси потери устойчивости в мм⁴; площадь сечения в мм²; длина стержня в мм; коэффициент приведённой длины k; заданный предел пропорциональности материала в МПа.

Источники и допущения

Основание расчёта

Метод, правило или ставка сверены с указанным источником. Последняя проверка этой реализации: 2026-09-30.

Идеальный центрально сжатый стержень с известными закреплениями, без начальной кривизны, эксцентриситета и остаточных напряжений. K и предел пропорциональности не подбираются автоматически; результат не является нормативной расчётной несущей способностью.
Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: модуль юнга в ГПа; момент инерции относительно оси потери устойчивости в мм⁴; площадь сечения в мм²; длина стержня в мм; коэффициент приведённой длины k; заданный предел пропорциональности материала в МПа.

MIT: упругая потеря устойчивости по Эйлеру ↗

Коротко о главном

Вопросы
и ответы

Что показывает «упругая критическая сила»?＋

Как проверить расчёт на конкретном примере?＋

Модуль Юнга: 200 ГПа; Момент инерции относительно оси потери устойчивости: 80 000 мм⁴; Площадь сечения: 1 000 мм²; Длина стержня: 2 000 мм; Коэффициент приведённой длины K: 1; Заданный предел пропорциональности материала: 250 МПа. Упругая критическая сила: 39 478,4176 Н; Критическое среднее напряжение: 39,4784176 МПа; Гибкость по приведённой длине: 223,6067977. Для идеального прямого стержня Pcr=π²EI/(KL)². Радиус инерции r=√(I/A), гибкость λ=KL/r; E переводится в МПа. Ось I выбирается для рассматриваемой формы потери устойчивости.

Какие ограничения есть у метода?＋

Можно ли изменить исходные данные и сравнить варианты?＋

Да. Удвоение приведённой длины уменьшает критическую силу в четыре раза. Ограничение Pcr/A ниже заданного предела пропорциональности отсекает явно неупругую область, но не доказывает применимость Эйлера к реальной детали. Сравнивайте варианты в одинаковых единицах и при неизменных допущениях: Идеальный центрально сжатый стержень с известными закреплениями, без начальной кривизны, эксцентриситета и остаточных напряжений. K и предел пропорциональности не подбираются автоматически; результат не является нормативной расчётной несущей способностью.