Производство

Цепь Маркова из двух состояний

Находит вероятность состояния A после указанного числа переходов и стационарное распределение.

⚙быстрый расчёт
онлайн

Введите данные

Вероятность A → B за один шаг

Вероятность B → A за один шаг

Начальная вероятность A

Число дискретных шагов

Данные не отправляются на сервер

Результат

Вероятность A после шагов65%

Вероятность B после шагов35 %

Стационарная вероятность A60 %

Формула

Как считается результат

Если p=P(A→B), q=P(B→A), то Pn(A)=q/(p+q)+(P0(A)−q/(p+q))(1−p−q)^n. Вероятность B — дополнение; распределение πA=q/(p+q) неизменно под действием матрицы переходов.

Пример с тестовыми данными

Вероятность A → B за один шаг: 0,2; Вероятность B → A за один шаг: 0,3; Начальная вероятность A: 1; Число дискретных шагов: 3

Вероятность A после шагов: 65 %; Вероятность B после шагов: 35 %; Стационарная вероятность A: 60 %

О расчёте

Как пользоваться
калькулятором

Находит вероятность состояния A после указанного числа переходов и стационарное распределение.

01
Подготовьте данные
Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: вероятность a → b за один шаг; вероятность b → a за один шаг; начальная вероятность a; число дискретных шагов.
02
Проверьте единицы и условия
Вероятности шагов постоянны, следующее состояние зависит только от текущего. Нужен p+q>0: при двух нулях стационарное распределение не единственно. Это дискретные вероятности, не интенсивности за час; календарное время требует определения длительности шага.
03
Прочитайте результат
n=0 возвращает исходное распределение. При p=q=1 процесс чередует состояния и не сходится к стационарному распределению, хотя π=(1/2,1/2) существует. Стационарность и предел по времени нельзя путать.

Подробное объяснение

Как читать результат

Расшифровка показателей, пример вычисления и ограничения метода — без лишних терминов.

Что означают результаты

n=0 возвращает исходное распределение. При p=q=1 процесс чередует состояния и не сходится к стационарному распределению, хотя π=(1/2,1/2) существует. Стационарность и предел по времени нельзя путать.

Когда модель применима

Вероятности шагов постоянны, следующее состояние зависит только от текущего. Нужен p+q>0: при двух нулях стационарное распределение не единственно. Это дискретные вероятности, не интенсивности за час; календарное время требует определения длительности шага.

Разбор по шагам

Пример расчёта

Пример 1

Исходные данные: Вероятность A → B за один шаг: 0,2; Вероятность B → A за один шаг: 0,3; Начальная вероятность A: 1; Число дискретных шагов: 3
Вычисление: Если p=P(A→B), q=P(B→A), то Pn(A)=q/(p+q)+(P0(A)−q/(p+q))(1−p−q)^n. Вероятность B — дополнение; распределение πA=q/(p+q) неизменно под действием матрицы переходов. Вероятность A после шагов: (((0,3) ÷ ((0,2)+(0,3)))+((1)-((0,3) ÷ ((0,2)+(0,3)))) × (1-(0,2)-(0,3))^(3)) × 100 = 65 %. Вероятность B после шагов: (1-(((0,3) ÷ ((0,2)+(0,3)))+((1)-((0,3) ÷ ((0,2)+(0,3)))) × (1-(0,2)-(0,3))^(3))) × 100 = 35 %. Стационарная вероятность A: ((0,3) ÷ ((0,2)+(0,3))) × 100 = 60 %.
Результат: Вероятность A после шагов: 65 %; Вероятность B после шагов: 35 %; Стационарная вероятность A: 60 %

Пример 2

Исходные данные: Вероятность A → B за один шаг: 1; Вероятность B → A за один шаг: 1; Начальная вероятность A: 1; Число дискретных шагов: 3
Вычисление: Вероятность A после шагов: (((1) ÷ ((1)+(1)))+((1)-((1) ÷ ((1)+(1)))) × (1-(1)-(1))^(3)) × 100 = 0 %. Вероятность B после шагов: (1-(((1) ÷ ((1)+(1)))+((1)-((1) ÷ ((1)+(1)))) × (1-(1)-(1))^(3))) × 100 = 100 %. Стационарная вероятность A: ((1) ÷ ((1)+(1))) × 100 = 50 %.
Результат: Вероятность A после шагов: 0 %; Вероятность B после шагов: 100 %; Стационарная вероятность A: 50 %

Этот вариант использует другие исходные данные: Вероятность A → B за один шаг — 1; Вероятность B → A за один шаг — 1; Число дискретных шагов — 3. n=0 возвращает исходное распределение. При p=q=1 процесс чередует состояния и не сходится к стационарному распределению, хотя π=(1/2,1/2) существует. Стационарность и предел по времени нельзя путать.

Формула и обозначения

forward — вероятность a → b за один шаг.

back — вероятность b → a за один шаг.

initial — начальная вероятность a.

steps — число дискретных шагов.

Практическое применение

Находит вероятность состояния A после указанного числа переходов и стационарное распределение. Если p=P(A→B), q=P(B→A), то Pn(A)=q/(p+q)+(P0(A)−q/(p+q))(1−p−q)^n. Вероятность B — дополнение; распределение πA=q/(p+q) неизменно под действием матрицы переходов.

Частые ошибки

Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: вероятность a → b за один шаг; вероятность b → a за один шаг; начальная вероятность a; число дискретных шагов.

Источники и допущения

Основание расчёта

Метод, правило или ставка сверены с указанным источником. Последняя проверка этой реализации: 2026-09-30.

Вероятности шагов постоянны, следующее состояние зависит только от текущего. Нужен p+q>0: при двух нулях стационарное распределение не единственно. Это дискретные вероятности, не интенсивности за час; календарное время требует определения длительности шага.
Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: вероятность a → b за один шаг; вероятность b → a за один шаг; начальная вероятность a; число дискретных шагов.

MIT: цепи Маркова и стационарные вероятности ↗

Коротко о главном

Вопросы
и ответы

Что показывает «вероятность a после шагов»?＋

Как проверить расчёт на конкретном примере?＋

Вероятность A → B за один шаг: 0,2; Вероятность B → A за один шаг: 0,3; Начальная вероятность A: 1; Число дискретных шагов: 3. Вероятность A после шагов: 65 %; Вероятность B после шагов: 35 %; Стационарная вероятность A: 60 %. Если p=P(A→B), q=P(B→A), то Pn(A)=q/(p+q)+(P0(A)−q/(p+q))(1−p−q)^n. Вероятность B — дополнение; распределение πA=q/(p+q) неизменно под действием матрицы переходов.

Какие ограничения есть у метода?＋

Можно ли изменить исходные данные и сравнить варианты?＋

Да. n=0 возвращает исходное распределение. При p=q=1 процесс чередует состояния и не сходится к стационарному распределению, хотя π=(1/2,1/2) существует. Стационарность и предел по времени нельзя путать. Сравнивайте варианты в одинаковых единицах и при неизменных допущениях: Вероятности шагов постоянны, следующее состояние зависит только от текущего. Нужен p+q>0: при двух нулях стационарное распределение не единственно. Это дискретные вероятности, не интенсивности за час; календарное время требует определения длительности шага.