Математика

Отрицательное биномиальное распределение: нужный успех

Находит вероятность достижения r-го успеха в заданном испытании и среднее число испытаний до него.

∑быстрый расчёт
онлайн

Введите данные

Нужное число успехов r

шт.

Номер испытания для r-го успеха

шт.

Постоянная вероятность одного успеха

Данные не отправляются на сервер

Результат

Вероятность r-го успеха именно в этом испытании18,75%

Среднее число испытаний до r-го успеха6 шт.

Дисперсия числа испытаний6 шт.²

Формула

Как считается результат

Вероятность r-го успеха именно в этом испытании = ((trials-1)!/((required-1)!*((trials-1)-(required-1))!))*(probability/100)^required*(1-probability/100)^(trials-required)*100 (%); Среднее число испытаний до r-го успеха = required/(probability/100) (шт.); Дисперсия числа испытаний = required*(1-probability/100)/(probability/100)^2 (шт.²)

Пример с тестовыми данными

Нужное число успехов r: 3 шт.; Номер испытания для r-го успеха: 5 шт.; Постоянная вероятность одного успеха: 50 %

Вероятность r-го успеха именно в этом испытании: 18,75 %; Среднее число испытаний до r-го успеха: 6 шт.; Дисперсия числа испытаний: 6 шт.²

О расчёте

Как пользоваться
калькулятором

Находит вероятность достижения r-го успеха в заданном испытании и среднее число испытаний до него.

Чтобы r-й успех произошёл в испытании n, в первых n−1 испытаниях нужны r−1 успехов, а последнее обязательно успешно. Поэтому P=C(n−1,r−1)p^r(1−p)^(n−r); среднее n равно r/p, дисперсия r(1−p)/p².

01
Подготовьте данные
Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: нужное число успехов r в шт.; номер испытания для r-го успеха в шт.; постоянная вероятность одного успеха в %.
02
Проверьте единицы и условия
Независимые испытания с постоянной вероятностью, r≥1 и n≥r. Для факториального расчёта n ограничен 100. При p=0 ожидание бесконечно, поэтому такой ввод исключён; без возвращения эта модель не подходит. Показатель не прогнозирует результат конкретной последовательности.
03
Прочитайте результат
Случайная величина здесь — полное число испытаний, включая успехи, а не число неудач. При p=100% r-й успех неизбежно приходится на r-е испытание; дополнительные испытания имеют нулевую вероятность.

Подробное объяснение

Как читать результат

Расшифровка показателей, пример вычисления и ограничения метода — без лишних терминов.

Что означают результаты

Случайная величина здесь — полное число испытаний, включая успехи, а не число неудач. При p=100% r-й успех неизбежно приходится на r-е испытание; дополнительные испытания имеют нулевую вероятность.

Когда модель применима

Независимые испытания с постоянной вероятностью, r≥1 и n≥r. Для факториального расчёта n ограничен 100. При p=0 ожидание бесконечно, поэтому такой ввод исключён; без возвращения эта модель не подходит. Показатель не прогнозирует результат конкретной последовательности.

Разбор по шагам

Пример расчёта

Пример 1

Исходные данные: Нужное число успехов r: 3 шт.; Номер испытания для r-го успеха: 5 шт.; Постоянная вероятность одного успеха: 50 %
Вычисление: Чтобы r-й успех произошёл в испытании n, в первых n−1 испытаниях нужны r−1 успехов, а последнее обязательно успешно. Поэтому P=C(n−1,r−1)p^r(1−p)^(n−r); среднее n равно r/p, дисперсия r(1−p)/p². Вероятность r-го успеха именно в этом испытании: после вычисления по описанной формуле получаем 18,75 %. Среднее число испытаний до r-го успеха: (3) ÷ ((50) ÷ 100) = 6 шт.. Дисперсия числа испытаний: (3) × (1-(50) ÷ 100) ÷ ((50) ÷ 100)^2 = 6 шт.².
Результат: Вероятность r-го успеха именно в этом испытании: 18,75 %; Среднее число испытаний до r-го успеха: 6 шт.; Дисперсия числа испытаний: 6 шт.²

Пример 2

Исходные данные: Нужное число успехов r: 3 шт.; Номер испытания для r-го успеха: 3 шт.; Постоянная вероятность одного успеха: 50 %
Вычисление: Вероятность r-го успеха именно в этом испытании: после вычисления по описанной формуле получаем 12,5 %. Среднее число испытаний до r-го успеха: (3) ÷ ((50) ÷ 100) = 6 шт.. Дисперсия числа испытаний: (3) × (1-(50) ÷ 100) ÷ ((50) ÷ 100)^2 = 6 шт.².
Результат: Вероятность r-го успеха именно в этом испытании: 12,5 %; Среднее число испытаний до r-го успеха: 6 шт.; Дисперсия числа испытаний: 6 шт.²

Этот вариант использует другие исходные данные: Номер испытания для r-го успеха — 3. Случайная величина здесь — полное число испытаний, включая успехи, а не число неудач. При p=100% r-й успех неизбежно приходится на r-е испытание; дополнительные испытания имеют нулевую вероятность.

Формула и обозначения

required — нужное число успехов r, единица: шт..

trials — номер испытания для r-го успеха, единица: шт..

probability — постоянная вероятность одного успеха, единица: %.

Практическое применение

Находит вероятность достижения r-го успеха в заданном испытании и среднее число испытаний до него. Чтобы r-й успех произошёл в испытании n, в первых n−1 испытаниях нужны r−1 успехов, а последнее обязательно успешно. Поэтому P=C(n−1,r−1)p^r(1−p)^(n−r); среднее n равно r/p, дисперсия r(1−p)/p².

Частые ошибки

Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: нужное число успехов r в шт.; номер испытания для r-го успеха в шт.; постоянная вероятность одного успеха в %.

Источники и допущения

Основание расчёта

Метод, правило или ставка сверены с указанным источником. Последняя проверка этой реализации: 2026-09-30.

Независимые испытания с постоянной вероятностью, r≥1 и n≥r. Для факториального расчёта n ограничен 100. При p=0 ожидание бесконечно, поэтому такой ввод исключён; без возвращения эта модель не подходит. Показатель не прогнозирует результат конкретной последовательности.
Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: нужное число успехов r в шт.; номер испытания для r-го успеха в шт.; постоянная вероятность одного успеха в %.

Penn State STAT 414: отрицательное биномиальное распределение ↗

Коротко о главном

Вопросы
и ответы

Что показывает «вероятность r-го успеха именно в этом испытании»?＋

Как проверить расчёт на конкретном примере?＋

Нужное число успехов r: 3 шт.; Номер испытания для r-го успеха: 5 шт.; Постоянная вероятность одного успеха: 50 %. Вероятность r-го успеха именно в этом испытании: 18,75 %; Среднее число испытаний до r-го успеха: 6 шт.; Дисперсия числа испытаний: 6 шт.². Чтобы r-й успех произошёл в испытании n, в первых n−1 испытаниях нужны r−1 успехов, а последнее обязательно успешно. Поэтому P=C(n−1,r−1)p^r(1−p)^(n−r); среднее n равно r/p, дисперсия r(1−p)/p².

Какие ограничения есть у метода?＋

Можно ли изменить исходные данные и сравнить варианты?＋

Да. Случайная величина здесь — полное число испытаний, включая успехи, а не число неудач. При p=100% r-й успех неизбежно приходится на r-е испытание; дополнительные испытания имеют нулевую вероятность. Сравнивайте варианты в одинаковых единицах и при неизменных допущениях: Независимые испытания с постоянной вероятностью, r≥1 и n≥r. Для факториального расчёта n ограничен 100. При p=0 ожидание бесконечно, поэтому такой ввод исключён; без возвращения эта модель не подходит. Показатель не прогнозирует результат конкретной последовательности.