Математика

Логнормальное распределение: исходная шкала

Переводит среднее и стандартное отклонение натурального логарифма в характеристики положительной величины.

∑быстрый расчёт
онлайн

Введите данные

Среднее натурального логарифма μ

Стандартное отклонение натурального логарифма σ

Данные не отправляются на сервер

Результат

Медиана1ед.

Арифметическое среднее1,1331 ед.

Мода0,7788 ед.

Стандартное отклонение0,6039 ед.

Формула

Как считается результат

Медиана = exp(meanlog) (ед.); Арифметическое среднее = exp(meanlog+sdlog^2/2) (ед.); Мода = exp(meanlog-sdlog^2) (ед.); Стандартное отклонение = exp(meanlog+sdlog^2/2)*sqrt(expminus(sdlog^2)) (ед.)

Пример с тестовыми данными

Среднее натурального логарифма μ: 0; Стандартное отклонение натурального логарифма σ: 0,5

Медиана: 1 ед.; Арифметическое среднее: 1,133148453 ед.; Мода: 0,7788007831 ед.; Стандартное отклонение: 0,6039005332 ед.

О расчёте

Как пользоваться
калькулятором

Если ln(X) нормально распределён с параметрами μ и σ, медиана X равна e^μ, среднее e^(μ+σ²/2), мода e^(μ−σ²). Разброс равен e^(μ+σ²/2)√(e^(σ²)−1); малая разность экспонент вычисляется через expm1.

01
Подготовьте данные
Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: среднее натурального логарифма μ; стандартное отклонение натурального логарифма σ.
02
Проверьте единицы и условия
Только положительная величина без добавочного сдвига, натуральный логарифм и одинаковая исходная единица. Среднее и разброс самих X нельзя вводить в эти поля. При переполнении параметров получается явная ошибка вместо бесконечного ответа; форма распределения не проверяется по выборке.
03
Прочитайте результат
Среднее больше медианы из-за правого хвоста, а мода меньше медианы. При изменении единицы величины меняется μ, но не σ; введённое стандартное отклонение относится именно к логарифмам.

Подробное объяснение

Как читать результат

Расшифровка показателей, пример вычисления и ограничения метода — без лишних терминов.

Что означают результаты

Среднее больше медианы из-за правого хвоста, а мода меньше медианы. При изменении единицы величины меняется μ, но не σ; введённое стандартное отклонение относится именно к логарифмам.

Когда модель применима

Только положительная величина без добавочного сдвига, натуральный логарифм и одинаковая исходная единица. Среднее и разброс самих X нельзя вводить в эти поля. При переполнении параметров получается явная ошибка вместо бесконечного ответа; форма распределения не проверяется по выборке.

Разбор по шагам

Пример расчёта

Пример 1

Исходные данные: Среднее натурального логарифма μ: 0; Стандартное отклонение натурального логарифма σ: 0,5
Вычисление: Если ln(X) нормально распределён с параметрами μ и σ, медиана X равна e^μ, среднее e^(μ+σ²/2), мода e^(μ−σ²). Разброс равен e^(μ+σ²/2)√(e^(σ²)−1); малая разность экспонент вычисляется через expm1. Медиана: exp((0)) = 1 ед.. Арифметическое среднее: exp((0)+(0,5)^2 ÷ 2) = 1,133148453 ед.. Мода: exp((0)-(0,5)^2) = 0,7788007831 ед.. Стандартное отклонение: exp((0)+(0,5)^2 ÷ 2) × sqrt(expminus((0,5)^2)) = 0,6039005332 ед..
Результат: Медиана: 1 ед.; Арифметическое среднее: 1,133148453 ед.; Мода: 0,7788007831 ед.; Стандартное отклонение: 0,6039005332 ед.

Пример 2

Исходные данные: Среднее натурального логарифма μ: 2,302585093; Стандартное отклонение натурального логарифма σ: 0,5
Вычисление: Медиана: exp((2,302585093)) = 10 ед.. Арифметическое среднее: exp((2,302585093)+(0,5)^2 ÷ 2) = 11,33148453 ед.. Мода: exp((2,302585093)-(0,5)^2) = 7,788007831 ед.. Стандартное отклонение: exp((2,302585093)+(0,5)^2 ÷ 2) × sqrt(expminus((0,5)^2)) = 6,039005332 ед..
Результат: Медиана: 10 ед.; Арифметическое среднее: 11,33148453 ед.; Мода: 7,788007831 ед.; Стандартное отклонение: 6,039005332 ед.

Этот вариант использует другие исходные данные: Среднее натурального логарифма μ — 2,302585093. Среднее больше медианы из-за правого хвоста, а мода меньше медианы. При изменении единицы величины меняется μ, но не σ; введённое стандартное отклонение относится именно к логарифмам.

Формула и обозначения

meanlog — среднее натурального логарифма μ.

sdlog — стандартное отклонение натурального логарифма σ.

Практическое применение

Переводит среднее и стандартное отклонение натурального логарифма в характеристики положительной величины. Если ln(X) нормально распределён с параметрами μ и σ, медиана X равна e^μ, среднее e^(μ+σ²/2), мода e^(μ−σ²). Разброс равен e^(μ+σ²/2)√(e^(σ²)−1); малая разность экспонент вычисляется через expm1.

Частые ошибки

Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: среднее натурального логарифма μ; стандартное отклонение натурального логарифма σ.

Источники и допущения

Основание расчёта

Метод, правило или ставка сверены с указанным источником. Последняя проверка этой реализации: 2026-09-30.

Только положительная величина без добавочного сдвига, натуральный логарифм и одинаковая исходная единица. Среднее и разброс самих X нельзя вводить в эти поля. При переполнении параметров получается явная ошибка вместо бесконечного ответа; форма распределения не проверяется по выборке.
Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: среднее натурального логарифма μ; стандартное отклонение натурального логарифма σ.

NIST: логнормальное распределение ↗

Коротко о главном

Вопросы
и ответы

Что показывает «медиана»?＋

Как проверить расчёт на конкретном примере?＋

Среднее натурального логарифма μ: 0; Стандартное отклонение натурального логарифма σ: 0,5. Медиана: 1 ед.; Арифметическое среднее: 1,133148453 ед.; Мода: 0,7788007831 ед.; Стандартное отклонение: 0,6039005332 ед.. Если ln(X) нормально распределён с параметрами μ и σ, медиана X равна e^μ, среднее e^(μ+σ²/2), мода e^(μ−σ²). Разброс равен e^(μ+σ²/2)√(e^(σ²)−1); малая разность экспонент вычисляется через expm1.

Какие ограничения есть у метода?＋

Можно ли изменить исходные данные и сравнить варианты?＋

Да. Среднее больше медианы из-за правого хвоста, а мода меньше медианы. При изменении единицы величины меняется μ, но не σ; введённое стандартное отклонение относится именно к логарифмам. Сравнивайте варианты в одинаковых единицах и при неизменных допущениях: Только положительная величина без добавочного сдвига, натуральный логарифм и одинаковая исходная единица. Среднее и разброс самих X нельзя вводить в эти поля. При переполнении параметров получается явная ошибка вместо бесконечного ответа; форма распределения не проверяется по выборке.