Сравнивает число наблюдений выбранной первой значащей цифры с логарифмическим распределением Бенфорда.
</>быстрый расчёт онлайн
Введите данные
Данные не отправляются на сервер
Результат
Вероятность выбранной цифры30,103%
Ожидаемое число наблюдений301,03 наблюдения
Отклонение от ожидаемого числа-1,03 наблюдения
Стандартизированное биномиальное отклонение-0,071
Формула
Как считается результат
Закон первой цифры задаёт pd=log10(1+1/d), d=1…9. Для N независимых подходящих чисел ожидается Npd, биномиальное стандартное отклонение √[Npd(1−pd)]. Показанный z=(nd−Npd)/σ — стандартизация одного счётчика, не полный тест девяти цифр.
Пример с тестовыми данными
Первая значащая десятичная цифра: 1; Число допустимых ненулевых наблюдений N: 1 000; Наблюдаемое число выбранной цифры: 300
Вероятность выбранной цифры: 30,10299957 %; Ожидаемое число наблюдений: 301,0299957 наблюдения; Отклонение от ожидаемого числа: -1,029995664 наблюдения; Стандартизированное биномиальное отклонение: -0,07100701251
О расчёте
Как пользоваться калькулятором
Сравнивает число наблюдений выбранной первой значащей цифры с логарифмическим распределением Бенфорда.
Закон первой цифры задаёт pd=log10(1+1/d), d=1…9. Для N независимых подходящих чисел ожидается Npd, биномиальное стандартное отклонение √[Npd(1−pd)]. Показанный z=(nd−Npd)/σ — стандартизация одного счётчика, не полный тест девяти цифр.
01
Подготовьте данные
Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: первая значащая десятичная цифра; число допустимых ненулевых наблюдений n; наблюдаемое число выбранной цифры.
02
Проверьте единицы и условия
Не применим автоматически к номерам телефонов, идентификаторам, искусственно ограниченным диапазонам или заданным ценам. Корреляции, отбор, множественные проверки цифр и точный биномиальный тест не учитываются; p-значение и заключение о нарушении не выдаются.
03
Прочитайте результат
Первая значащая цифра у 0,0047 равна 4; нулевые значения не имеют её и исключаются из N. Большое отклонение не доказывает фальсификацию: сама выборка должна иметь основания следовать этому закону и обычно охватывать несколько порядков величин.
Подробное объяснение
Как читать результат
Расшифровка показателей, пример вычисления и ограничения метода — без лишних терминов.
01
Что означают результаты
Первая значащая цифра у 0,0047 равна 4; нулевые значения не имеют её и исключаются из N. Большое отклонение не доказывает фальсификацию: сама выборка должна иметь основания следовать этому закону и обычно охватывать несколько порядков величин.
02
Когда модель применима
Не применим автоматически к номерам телефонов, идентификаторам, искусственно ограниченным диапазонам или заданным ценам. Корреляции, отбор, множественные проверки цифр и точный биномиальный тест не учитываются; p-значение и заключение о нарушении не выдаются.
Разбор по шагам
Пример расчёта
Пример 1
Исходные данные
Первая значащая десятичная цифра: 1; Число допустимых ненулевых наблюдений N: 1 000; Наблюдаемое число выбранной цифры: 300
Вычисление
Закон первой цифры задаёт pd=log10(1+1/d), d=1…9. Для N независимых подходящих чисел ожидается Npd, биномиальное стандартное отклонение √[Npd(1−pd)]. Показанный z=(nd−Npd)/σ — стандартизация одного счётчика, не полный тест девяти цифр. Вероятность выбранной цифры: (lnplus(1 ÷ (1)) ÷ ln(10)) × 100 = 30,10299957 %. Ожидаемое число наблюдений: (1 000) × (lnplus(1 ÷ (1)) ÷ ln(10)) = 301,0299957 наблюдения. Отклонение от ожидаемого числа: (300)-(1 000) × (lnplus(1 ÷ (1)) ÷ ln(10)) = -1,029995664 наблюдения. Стандартизированное биномиальное отклонение: ((300)-(1 000) × (lnplus(1 ÷ (1)) ÷ ln(10))) ÷ sqrt((1 000) × (lnplus(1 ÷ (1)) ÷ ln(10)) × (1-(lnplus(1 ÷ (1)) ÷ ln(10)))) = -0,07100701251.
Результат
Вероятность выбранной цифры: 30,10299957 %; Ожидаемое число наблюдений: 301,0299957 наблюдения; Отклонение от ожидаемого числа: -1,029995664 наблюдения; Стандартизированное биномиальное отклонение: -0,07100701251
Первая значащая цифра у 0,0047 равна 4; нулевые значения не имеют её и исключаются из N. Большое отклонение не доказывает фальсификацию: сама выборка должна иметь основания следовать этому закону и обычно охватывать несколько порядков величин.
Пример 2
Исходные данные
Первая значащая десятичная цифра: 9; Число допустимых ненулевых наблюдений N: 1 000; Наблюдаемое число выбранной цифры: 300
Вероятность выбранной цифры: 4,575749056 %; Ожидаемое число наблюдений: 45,75749056 наблюдения; Отклонение от ожидаемого числа: 254,2425094 наблюдения; Стандартизированное биномиальное отклонение: 38,47580255
Этот вариант использует другие исходные данные: Первая значащая десятичная цифра — 9. Первая значащая цифра у 0,0047 равна 4; нулевые значения не имеют её и исключаются из N. Большое отклонение не доказывает фальсификацию: сама выборка должна иметь основания следовать этому закону и обычно охватывать несколько порядков величин.
Формула и обозначения
Закон первой цифры задаёт pd=log10(1+1/d), d=1…9. Для N независимых подходящих чисел ожидается Npd, биномиальное стандартное отклонение √[Npd(1−pd)]. Показанный z=(nd−Npd)/σ — стандартизация одного счётчика, не полный тест девяти цифр.
digit — первая значащая десятичная цифра.
count — число допустимых ненулевых наблюдений n.
observed — наблюдаемое число выбранной цифры.
Практическое применение
Сравнивает число наблюдений выбранной первой значащей цифры с логарифмическим распределением Бенфорда. Закон первой цифры задаёт pd=log10(1+1/d), d=1…9. Для N независимых подходящих чисел ожидается Npd, биномиальное стандартное отклонение √[Npd(1−pd)]. Показанный z=(nd−Npd)/σ — стандартизация одного счётчика, не полный тест девяти цифр.
Первая значащая цифра у 0,0047 равна 4; нулевые значения не имеют её и исключаются из N. Большое отклонение не доказывает фальсификацию: сама выборка должна иметь основания следовать этому закону и обычно охватывать несколько порядков величин.
Частые ошибки
Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: первая значащая десятичная цифра; число допустимых ненулевых наблюдений n; наблюдаемое число выбранной цифры.
Не применим автоматически к номерам телефонов, идентификаторам, искусственно ограниченным диапазонам или заданным ценам. Корреляции, отбор, множественные проверки цифр и точный биномиальный тест не учитываются; p-значение и заключение о нарушении не выдаются.
Источники и допущения
Основание расчёта
Метод, правило или ставка сверены с указанным источником. Последняя проверка этой реализации: 2026-09-30.
Не применим автоматически к номерам телефонов, идентификаторам, искусственно ограниченным диапазонам или заданным ценам. Корреляции, отбор, множественные проверки цифр и точный биномиальный тест не учитываются; p-значение и заключение о нарушении не выдаются.
Используйте исходные величины именно для рассматриваемого случая: первая значащая десятичная цифра; число допустимых ненулевых наблюдений n; наблюдаемое число выбранной цифры.
Первая значащая цифра у 0,0047 равна 4; нулевые значения не имеют её и исключаются из N. Большое отклонение не доказывает фальсификацию: сама выборка должна иметь основания следовать этому закону и обычно охватывать несколько порядков величин.
Как проверить расчёт на конкретном примере?＋
Первая значащая десятичная цифра: 1; Число допустимых ненулевых наблюдений N: 1 000; Наблюдаемое число выбранной цифры: 300. Вероятность выбранной цифры: 30,10299957 %; Ожидаемое число наблюдений: 301,0299957 наблюдения; Отклонение от ожидаемого числа: -1,029995664 наблюдения; Стандартизированное биномиальное отклонение: -0,07100701251. Закон первой цифры задаёт pd=log10(1+1/d), d=1…9. Для N независимых подходящих чисел ожидается Npd, биномиальное стандартное отклонение √[Npd(1−pd)]. Показанный z=(nd−Npd)/σ — стандартизация одного счётчика, не полный тест девяти цифр.
Какие ограничения есть у метода?＋
Не применим автоматически к номерам телефонов, идентификаторам, искусственно ограниченным диапазонам или заданным ценам. Корреляции, отбор, множественные проверки цифр и точный биномиальный тест не учитываются; p-значение и заключение о нарушении не выдаются.
Можно ли изменить исходные данные и сравнить варианты?＋
Да. Первая значащая цифра у 0,0047 равна 4; нулевые значения не имеют её и исключаются из N. Большое отклонение не доказывает фальсификацию: сама выборка должна иметь основания следовать этому закону и обычно охватывать несколько порядков величин. Сравнивайте варианты в одинаковых единицах и при неизменных допущениях: Не применим автоматически к номерам телефонов, идентификаторам, искусственно ограниченным диапазонам или заданным ценам. Корреляции, отбор, множественные проверки цифр и точный биномиальный тест не учитываются; p-значение и заключение о нарушении не выдаются.